직선의 방정식&원의 방정식_난이도 중 (2018년 9월 교육청 고1 19번)

좌표평면 위의 세 점 ${\rm O}(0, \; 0)$, ${\rm A}(6, \; -8)$,  ${\rm B}(7, \;-1)$ 을 지나는 원 $C$ 에 대하여 원 $C$ 위의 점 $\rm O$ 에서의 접선을 $l_1$ 이라 하자. 두 삼각형 $\rm OAB$ 와 $\rm OPB$ 의 넓이가 같게 되는 직선 $l_1$ 위의 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 다음은 선분 $\rm QO$ 의 길이를 구하는 과정이다. (단, 점 $\rm P$ 는 제3사분면 위의 점이다.)

 

그림과 같이 세 점 $\rm O, \; A, \; B$ 를 지나는 원 $C$ 의 방정식은 $(x-3)^2+(y+4)^2=25$ 이므로 선분 $\rm OA$ 는 원 $C$ 의 지름이다.

직선 $l_1$ 은 직선 $\rm OA$ 와 수직이고 점 $\rm O$ 를 지나므로 직선 $l_1$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (가) }$ 이다.

점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm OB$ 와 평행한 직선을 $l_2$ 라 하면, 두 직선 $l_1, \; l_2$ 가 만나는 점이 두 삼각형 $\rm OAB$ 와 $\rm OPB$ 의 넓이가 같게 되는 점 $\rm P$ 이다.

 

 

직선 $l_2$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (나) }$ 이다.

점 $\rm P$ 는 두 직선 $l_1, \; l_2$ 가 만나는 점이므로 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는 $\boxed{ (다) }$이다.

따라서 선분 $\rm QO$ 의 길이는 $\left | \boxed{ (다) }\right |$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(2k)+g(-1)$ 의 값은?

 

① $-20$          ② $-19$          ③ $-18$          ④ $-17$          ⑤ $-16$

 

정답 ②