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목록2019/05 (26)
수악중독
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, 호 $\rm BP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\angle \rm POH = \angle PHQ$ 가 되도록 잡는다. $\angle \rm POH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OHQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $단 \left (단,\; 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ ① $\dfrac{..
자연수 $n\;(n\ge3)$ 에 대하여 집합 $A$ 를 $$A=\{(x, \; y)\; |\; 1 \le x \le y \le n, \; x 와\; y는 \; 자연수\}$$ 라 하자. 집합 $A$ 에서 임의로 선택된 한 개의 원소 $(a, \; b)$ 에 대하여 $b$ 가 $3$ 의 배수일 때, $a=b$ 일 확률이 $\dfrac{1}{9}$ 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $48$
자연수 $n$ 에 대하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 $c+d=2k$ 이어야 한다. $c+d=2k$ 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1, \; k_2$ 에 대하여 $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3, \; k_4$ 에 대하여 $c=2k_3+1, \; d=2k_4 +1$ 인 경우이..
그림과 같이 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 세 직선 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 에 동시에 접하는 네 원 $O_1, \; O_2, \; O_3, \; O_4$ 의 반지름의 길이를 각각 $r_1, \; r_2, \; r_3, \; r_4$ 라 하자. 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$ 이고 $r_1=1$ 일 때, $r_2+r_3+r_4$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=3 \sqrt{2} , \; \overline{\rm BC}=4, \; \overline{\rm CA} = \sqrt{10}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 세 선분 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 위의 점을 각각 $\rm D, \; E, \; F$ 라 하자. 삼각형 $\rm DEF$ 의 둘레의 길이의 최솟값이 $\dfrac{q}{p} \sqrt{5}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $17$
일차함수 $f(x)$ 와 이차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $g(x)$ 에 대하여 두 함수 $$h_1(x) = f(x)+g(x), \;\; h_2(x)=f(x)-g(x)$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프는 $x$ 축에 접한다.(나) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프와 함수 $y=h_2(x)$ 의 그래프는 오직 한 점 $(1, \; 9)$ 에서 만난다.(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $h_1(x) \ge h_1(\alpha), \;\; h_2(x) \le h_2(\beta)$ 가 성립할 때, $\alpha > \beta$ 이다. $f(\beta) \times g(\alpha)$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha, \; \beta$ 는 상수이다...
복소수 $\alpha, \; \beta$ 가 $\alpha^2 = 2i, \; \beta^2=-2i$ 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$ ) ㄱ. $\alpha \beta = 2$ㄴ. $(\alpha + \beta) ^4 = 16$ㄷ. $\dfrac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta}$ 는 실수이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ①
두 복소수 $z_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{1+i}, \; z_2 = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 에 대하여 $z_1 ^n = z_2 ^n$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ ) 정답 $24$
등식 $$\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i^2} + \dfrac{1}{i^3} - \dfrac{1}{i^4} + \cdots + \dfrac{(-1)^{n+1}}{i^n} = 1-i$$ 가 성립하도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ ) 정답 $25$