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수악중독
곡선 \(y=\log_3 x\) 위의 점 \({\rm P}(a, \;b)\) 에서 \(x\) 축, \(y\) 축에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm Q, \;R\) 라 하자. 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A}(1, \;0)\) 에 대하여 \[\dfrac{사각형\; {\rm OAPR}의 \;넓이}{삼각형 \; {\rm AQP} 의 \; 넓이} = \dfrac{5}{4}\] 일 때, \(a, \;b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. 정답 \(18\)
두 점 \((1, \;0),\;(0, \;-m)\) 을 지나는 직선이 두 곡선 \(y=2\log x,\; y=3\log x \) 와 각각 두 점에서 만날 때, \((1,\;0)\) 이 아닌 교점을 각각 \((p,\; 2\log p),\; (q, 3\log q)\) 라 하자. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(m>0, \; p>1, \;q>1\) 이다. ) ㄱ. \(p>q\) ㄴ. \(m= \dfrac{3\log q - 2 \log p}{q-p}\) ㄷ. \(m > \dfrac{3\log q}{q}\) ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④
두 함수 \(f(x)=|x|+|x-1|, \; g(x)=\log_2 x\) 에 대하여 합성함수 \(y=(g \circ f)(x)\) 의 그래프의 개형은? 정답 ①
그림과 같이 두 곡선 \(y=\log_6 (x+1),\; y=\log_6 (x-1)-4\) 와 두 직선 \(y=-2x, \; y=-2x+8\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 정답 \(16\)
자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=2^{x+n}\) 의 그래프가 함수 \(y= \left (\dfrac{1}{2} \right )^x\) 의 그래프와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 하자. 점 \({\rm P}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(a_n\), \(y\) 좌표를 \(b_n\) 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 수열 \(\{ a_n\} \) 은 등차수열이다. ㄴ. 임의의 자연수 \(m, \;n\) 에 대하여 \(b_m b_n = b_{m+n}\) 이다. ㄷ. \(2b_n < b_{n+1} \) 을 만족하는 자연수 \(n\) 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-2 \leq x \leq 0\) 일 때, \(f(x)= |x+1|-1\) (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)+f(-x)=0\) (다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2-x)=f(2+x)\) \(-10 \leq x \leq 10\) 에서 \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(y= \left (\dfrac{1}{2} \right )^x\) 의 그래프의 교점의 개수는? ① \(2\) ② \(3\) ③ \(4\) ④ \(5\) ⑤ \(6\) 정답 ⑤
두 지수함수 \(f(x)=a^x\;(a>1),\;\; g(x)=b^x\;(0
그림과 같이 반지름의 길이가 \(40 \rm m\) 와 \(30 \rm m\) 인 두 동심원으로 이루어져 있는 롤러스케이ㅡ 트랙이 있다. 센돌이와 느림이는 각각 \(\rm A, \;B\) 지점에서 출발을 하는데, 센돌이는 \(3 \pi \rm m/초\) 의 일정한 속력으로 긴 트랙을 시계 반대 방향으로 돌고, 느림이는 \(2 \pi \rm m/초\) 의 일정한 속력으로 짧은 트랙을 센돌이와 같은 방향인 시계 반대 방향으로 돌고 있다. 이때 그림과 같이 센돌이와 느림이가 처음으로 트랙의 중심 \(\rm O\) 에 대하여 서로 직각의 위치에 있는 순간, 두 사람이 멀어지는 속도는? (단, 센돌이와 느림이는 동시네 같이 출발하며, 점 \(\rm B\) 는 선분 \(\rm OA\) 위에 있고, 단위는 \(\rm..
좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 \(90^{\rm o}\) 이고 반지름의 길이가 \(10\) 인 부채꼴 \(\rm OAB\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm A\) 에서 출발하여 호 \(\rm AB\) 를 따라 매초 \(2\) 의 이정한 속력으로 움직일 때, \(\angle \rm AOP =30^{\rm o}\) 가 되는 순간 점 \(\rm P\) 의 \(y\) 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은? ① \(-\dfrac{1}{2}\) ② \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ④ \(-1\) ⑤ \(-2\) 정답 ④
그림과 같이 좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=1\) 위의 점 \(\rm P\) 가 점 \((1, \;0)\) 에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 \(\dfrac{1}{40}\)(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 평행한 직선을 그을 떄, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 \(S\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{1}{2} \right )\) 을 지나는 순간, 넓이 \(S\) 의 시간(초)에 대한 변화율은 \(\dfrac{b}{a}\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\) 는 서로소인 자연수이다.) 정..