수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

아래 그림과 같이 원 \(\rm O_1 , \;\; O_2 , \;\; O_3 , \;\; \cdots\) 은 서로 외접하면서 두 직선 \(y=3x,\;\; y= {\dfrac{1}{3}} x \) 에 접한다. 원 \(\rm O_1\) 의 중심의 좌표는 \(\left ( \sqrt {10} ,\; \sqrt{10} \right ) \) 이고, 원 \(\rm O_{\it n}\) 의 반지름의 길이를 \(r_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \sqrt {r_n} = a\sqrt{2} +b \sqrt {10} \) 이다. 이 때, 두 유리수 \(a,\; b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 값은?

① \(1\)          ② \(\dfrac{3}{2}\)          ③ \(2\)          ④ \(\dfrac{5}{2}\)          ⑤ \(3\)

정답 ③