수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

아래 그림과 같이 원 $\rm O_1 , \;\; O_2 , \;\; O_3 , \;\; \cdots$ 은 서로 외접하면서 두 직선 $y=3x,\;\; y= {\dfrac{1}{3}} x$ 에 접한다. 원 $\rm O_1$ 의 중심의 좌표는 $\left ( \sqrt {10} ,\; \sqrt{10} \right )$ 이고, 원 $\rm O_{\it n}$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, 무한급수 $\sum \limits _{n=1}^{\infty} \sqrt {r_n} = a\sqrt{2} +b \sqrt {10}$ 이다. 이 때, 두 유리수 $a,\; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은?

① $1$          ② $\dfrac{3}{2}$          ③ $2$          ④ $\dfrac{5}{2}$          ⑤ $3$

정답 ③