$16$개의 공과 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $\mathrm{k}$일 때, $\mathrm{k}$가 홀수이면 $1, 3, 5$가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣고, $\mathrm{k}$가 짝수이면 $\mathrm{k}$의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣는다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, $3$이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 $2$가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 $1$개 더 많을 확률은?
① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{3}{7}$
