이차방정식의 판별식&연립부등식_난이도 중 (2019년 6월 전국연합 고1 19번)

 

 

다음은 $x$ 에 대한 방정식 $$\left (x^2+ax+a \right ) \left (x^2+x+a \right )=0$$ 의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$ 이기 위한 실수 $a$ 값의 범위를 구하는 과정이다.

 

(1) $a=1$ 인 경우

주어진 방정식은 $\left (x^2+x+1 \right)^2=0$ 이다. 

이때, 방정식 $x^2+x+1=0$ 의 근은 

$x=\dfrac{-1 \pm  \sqrt{\boxed{ (가) }}i}{2}$  (단, $i=\sqrt{-1}$) 이므로 

방정식 $\left (x^2+x+1 \right )^2 = 0$ 의 서로 다른 허근의 개수는 $2$ 이다.

(2) $a \ne 1$ 인 경우

방정식 $x^2+ax+a=0$ 의 근은 $x=\dfrac{-a \pm \sqrt{\boxed{ (나) }}}{2}$ 이다.

  (i) $\boxed{ (나) } <0$ 일 때, 방정식 $x^2+x+a=0$ 은 실근을 가져야 하므로 실수 $a$ 의 값의 범위는 $$0 < a \le \dfrac{1}{4}$$ 이다.

  (ii) $\boxed{ (나) }\ge 0$ 일 때, 방정식 $x^2+x+a=0$ 은 허근을 가져야 하므로 실수 $a$ 의 값의 범위는 $$a \ge \boxed{ (다) } $$ 이다.

따라서 (1)과 (2)에 의하여

방정식 $\left (x^2+ax+a \right ) \left ( x^2+x+a \right )=0$ 의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$ 이기 위한 실수 $a$ 의 값의 범위는 $$0 < a \le \dfrac{1}{4} \text{ 또는 } a=1 \text{ 또는 } a \ge \boxed{ (다) }$$ 이다. 

 

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 하고, (나)에 알맞은 식을 $f(a)$ 라 할 때, $p+q+f(5)$ 의 값은?

 

① $8$          ② $9$          ③ $10$          ④ $11$          ⑤ $12$

 

정답 ⑤