합성함수_난이도 중상 (2022년 3월 전국연합 고2 21번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$가 있다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$까지 화살표 방향으로 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 변을 따라 움직인다. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$로부터 움직인 거리가 $x \; (0<x<5)$일 때, 삼각형 $\mathrm{PFA}$의 넓이를 $f(x)$라 하자. 다음은 함수 $f(x)$에 대하여 $(f \circ f)(a)=\dfrac{9}{32}$인 모든 실수 $a$의 값의 곱을 구하는 과정이다.

$(f \circ f)(a)=f(f(a))=\dfrac{9}{32}$에서 $f(a)=b$라 하면 $$f(b)=\dfrac{9}{32}$$이고, 함수 $f(x)$의 최댓값은 $\boxed{ (가) }$이므로 $$0<b\le \boxed{ (가) }$$이다. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$로부터 움직인 거리가 $b$인 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 삼각형 $\mathrm{QFA}$의 넓이는 $\dfrac{9}{32}$이다. 

점 $\mathrm{Q}$에서 직선 $\mathrm{FA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $$\overline{\mathrm{QH}}=\dfrac{9}{16}$$이므로 $$b=\boxed{ (나) }$$이다.

같은 방법으로 $f(a)=\boxed{ (나) }$를 만족시키는 $a \; (0<a<5)$의 값을 구하면 $$a=\boxed{  \; {}^{} \;    } \text{ 또는 } a=\boxed{ \; {}^{} \;     }$$이다. 따라서 $(f \circ f)(a)=\dfrac{9}{32}$를 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $\boxed{ (다) }$이다. 

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$라 할 때, $\dfrac{r}{p \times q}$의 값은?

 

① $\dfrac{26}{3}$          ② $\dfrac{28}{3}$          ③ $10$          ④ $\dfrac{32}{3}$          ⑤ $\dfrac{34}{3}$

 

정답 ②