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합성함수_난이도 중상 (2022년 3월 전국연합 고2 21번) 본문

(고1) 수학 - 문제풀이/함수와 그래프

합성함수_난이도 중상 (2022년 3월 전국연합 고2 21번)

수악중독 2022. 3. 26. 21:46

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}가 있다. 점 P\mathrm{P}는 점 A\mathrm{A}에서 출발하여 점 F\mathrm{F}까지 화살표 방향으로 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}의 변을 따라 움직인다. 점 P\mathrm{P}가 점 A\mathrm{A}로부터 움직인 거리가 x  (0<x<5)x \; (0<x<5)일 때, 삼각형 PFA\mathrm{PFA}의 넓이를 f(x)f(x)라 하자. 다음은 함수 f(x)f(x)에 대하여 (ff)(a)=932(f \circ f)(a)=\dfrac{9}{32}인 모든 실수 aa의 값의 곱을 구하는 과정이다.

(ff)(a)=f(f(a))=932(f \circ f)(a)=f(f(a))=\dfrac{9}{32}에서 f(a)=bf(a)=b라 하면 f(b)=932f(b)=\dfrac{9}{32}이고, 함수 f(x)f(x)의 최댓값은 ()\boxed{ (가) }이므로 0<b()0<b\le \boxed{ (가) }이다. 점 P\mathrm{P}가 점 A\mathrm{A}로부터 움직인 거리가 bb인 점을 Q\mathrm{Q}라 하면 삼각형 QFA\mathrm{QFA}의 넓이는 932\dfrac{9}{32}이다. 

Q\mathrm{Q}에서 직선 FA\mathrm{FA}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 QH=916\overline{\mathrm{QH}}=\dfrac{9}{16}이므로 b=()b=\boxed{ (나) }이다.

같은 방법으로 f(a)=()f(a)=\boxed{ (나) }를 만족시키는 a  (0<a<5)a \; (0<a<5)의 값을 구하면 a=        또는 a=       a=\boxed{  \; {}^{} \;    } \text{ 또는 } a=\boxed{ \; {}^{} \;     }이다. 따라서 (ff)(a)=932(f \circ f)(a)=\dfrac{9}{32}를 만족시키는 모든 실수 aa의 값의 곱은 ()\boxed{ (다) }이다. 

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p,  q,  rp, \; q, \; r라 할 때, rp×q\dfrac{r}{p \times q}의 값은?

 

263\dfrac{26}{3}          ② 283\dfrac{28}{3}          ③ 1010          ④ 323\dfrac{32}{3}          ⑤ 343\dfrac{34}{3}

 

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정답 ②