유리함수의 그래프_난이도 상 (2019년 4월 교육청 고3 나형 30번)

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 두 함수 $$\begin{aligned}f(x) &=ax+b \\ g(x) &= \dfrac{1}{ax+b-2} +3 \end{aligned} $$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. 

(가) $x>0$ 일 때, $1<g(x)<3$ 

(나) 두 함수 $y=f(x)$ 와 $y=\dfrac{1}{x-2}+3$ 의 그래프의 교점이 제 $4$ 사분면 위에는 있지 않다.

영역 $R$ 에 속하는 점 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a^2 +b^2$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $100M$ 의 값을 구하시오. (단, $a \ne 0$)

정답 $306$

위 풀이는 유리함수 그래프의 특징을 이용하여 푼 것입니다.

그렇지만 $g(x) = \dfrac{1}{f(x)-2}+3$ 이기 때문에  $x>0$ 일 때 $1 < \dfrac{1}{f(x)-2}+3 <3$ 을 이용하여 풀 수도 있습니다.

결국 $ -2< \dfrac{1}{f(x)-2} < 0$ 이 되고 $f(x)-2 <- \dfrac{1}{2}$ 즉 $f(x)< \dfrac{3}{2}$ 임을 알 수 있습니다.

일차함수인 $f(x)$ 가 $x>0$ 구간에서 $f(x) < \dfrac{3}{2}$ 를 만족하려면 기울기가 음수이고, $y$ 절편은 $\dfrac{3}{2}$ 이하가 되어야 합니다.

따라서 $a<0, \; b \le \dfrac{3}{2}$ 이 되어야 함을 알 수 있습니다.

이후로는 영상의 풀이와 같습니다.