삼차함수 그래프의 특징 & 부등식과 미분_난이도 상 (2018년 수능 나형 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2, \; 0)$ 에서의 접선은 모두 $x$ 축이다.

(나) 점 $(2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 개수는 $2$ 이다.

(다) 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 오직 하나의 실근을 가진다.

$x>0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le kx-2 \le f(x)$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $\alpha - \beta=a +b\sqrt{2}$ 이다 . $a^2 +b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $5$