(극혐) 삼차함수 그래프의 특징&격자점 개수_난이도 왕짜증 (2018년 11월 교육청 고2 가형 30번)

$3$ 보다 큰 자연수 $n$ 에 대하여 원 $C\; : \;x^2+y^2=n$ 이 있다. 삼차함수 $y=f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 극대, $x=1$ 에서 극소이고, 두 점 $(-1, \; f(-1)), ~(1, \; f(1))$ 이 모두 원 $C$ 위에 있을 때, 그림과 같이 원 $C$ 의 내부는 곡선 $y=f(x)$ 에 의해 $4$ 개의 영역 $S_1, \; S_2, \; S_3 , \; S_4$ 로 나누어진다. 각 영역 $S_k\; (k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 의 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $g_k(n)$ 이라 할 때, $g_1(n)>g_3(n)$ 을 만족시키는 $n$ 의 최솟값은 $a$ 이다. $a+\{g_1(a) \times g_3(a) \}$ 의 값을 구하시오. (단, 각 영역은 경계선을 포함하지 않는다.)

정답 $134$