수열의 극한 활용_난이도 상 (2019년 3월 교육청 나형 30번)

자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $S_n$ 이라 하자. 

(가) 정사각형은 한 변의 길이가 $1$ 이고 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.

(나) 연립부등식 $\dfrac{1}{2}x^2<y<x^2, \;\; 0<x<2n-1$ 을 만족시키는 점 $(x, \; y)$ 중에는 정사각형의 내부에 있는 점이 있다.

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_{n+1}-S_n}{n^2}$ 의 값을 구하시오. 

정답 $4$