급수_도형과 무한등비급수_난이도 상 (2018년 3월 교육청 나형 19번)

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=3$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 삼등분하는 점 중에서 $\rm A_1$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\rm E_1, \; F_1$ 이라 하고, 선분 $\rm B_1F_1$ 과 선분 $\rm C_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm B_1G_1E_1$ 과 삼각형 $\rm C_1F_1G_1$ 의 내부에 색칠하여 얻은 그리을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1C_1$ 위에 두 꼭짓점 $\rm B_2, \; C_2$ 가 있고, 선분 $\rm B_1G_1$ 위에 꼭짓점 $\rm A_2$, 선분 $\rm C_1G_1$ 위에 꼭짓점 $\rm D_2$ 가 있으며 $\overline{\rm A_2B_2}:\overline{\rm B_2C_2}=2:3$ 인 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 선분 $\rm A_2D_2$ 를 삼등분하는 점 중에서 $\rm A_2$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\rm E_2, \; F_2$ 라 하고, 선분 $\rm B_2F_2$ 와 선분 $\rm C_2E_2$ 의 교점을 $\rm G_2$ 라 하자. 삼각형 $\rm B_2G_2E_2$ 와 삼각형 $\rm C_2F_2G_2$ 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은? 

① $\dfrac{141}{80}$          ② $\dfrac{143}{80}$         ③ $\dfrac{29}{16}$          ④ $\dfrac{147}{80}$          ⑤ $\dfrac{149}{80}$ 

정답 ④