사차함수 그래프의 개형&미분불가능 점_난이도 상

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 집합 $S=\{ \alpha$ | 함수 $|f(x)-t|$ 가 $x=\alpha$ 에서 미분가능하지 않다.$\}$ 가 있다. 집합 $S$ 의 원소의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $f(x)$  와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) $\log_2 \{f(a)\}, \; \log_2\{f(b)\}, \; \log_2\{f(c)\}$ 는 같은 자연수이고, $ac<0<b<c-a$ 인 실수 $a, \; b, \; c$ 가 존재한다. (단, 이와 같은 자연수를 갖는 다른 실수는 존재하지 않는다.)

(나) $x>0$ 에서 어떤 $x$ 에 대하여 $f'(x)<0$ 이고 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극값 $0$ 을 갖는다.

(다) 함수 $g(t)$ 는 $t=0, \; t=f(a)$ 에서만 불연속이다.

$999$ 이하의 모든 자연수 $f(c) \times \log_2 b$ 의 값의 합을 구하시오. 

정답 $896$