(이과) 정적분으로 정의된 함수&넓이와 정적분_난이도 상 (2017년 6월 평가원 가형 30번)

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$  ($c>0$인  상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.

(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\alpha_m} g(x) \;dx = k \alpha_m \int_0^1 | f(x)| \; dx$

$mk \times e^c$ 의 값을 구하시오.

정답 $16$