역함수의 적분&점대칭 함수의 특징_난이도 상

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.

(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.

(다) $f(5)=10-a$ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다.

$\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2$ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

정답 $221$

역함수의 정적분이 어렵게 느껴지시는 분들은 다음과 같이 부분적분을 이용하셔도 됩니다.

$\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) dx = \left [ {\mathop{x \ln g(x)}_{}^{}} \right ]_a^5 - \int_a^5 x \times \dfrac{g'(x)}{g(x)} dx$

이때, $g(x)=t$ 로 치환하면 $x=g^{-1}(t) = f(t)$,   $dx = \dfrac{1}{g'(x)}dt$ 이므로

$\displaystyle \int_a^5 x \times \dfrac{g'(x)}{g(x)} dx=\int_1^3 f(t) \times \dfrac{g'(x)}{t} \times \dfrac{1}{g'(x)} dt = \int_1^3 \dfrac{f(t)}{t}dt$

따라서

$\begin{aligned} \displaystyle \int_a^5 \ln g(x) dx & = \left [ {\mathop{x \ln g(x)}_{}^{}} \right ]_a^5 - \int_a^5 x \times \dfrac{g'(x)}{g(x)} dx \\ & = 5 \ln g(5) - a \ln g(a) - \int_1^3 \dfrac{f(x)}{x} dx \\ &= 5 \ln 3 - a \ln 1 - \int_1^3 \dfrac{f(x)}{x} dx \\ & = 5 \ln 3 - \int_1^3 \dfrac{f(x)}{x} dx \end{aligned}$

가 됩니다.