(이과) 방정식과 미분_난이도 상

방정식 $x+ \tan x=0$ 의 해 중에서 최소의 양수를 $\alpha$ 라 할 때, 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \left \{ \begin{array}{cl} \dfrac{\sin x}{\sin x + x \cos x} & (0<|x|<\alpha) \\ p & (x=0) \end{array}\right .$$ 으로 정의하자. 자연수 $k$ 에 대하여 방정식 $f(x)=k \tan x$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $a_k$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^n a_k = 33$ 이다. $20(p+n)$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 는 상수이고, $n$ 은 자연수이다.)

정답 $220$