(이과) 접선의 방정식과 미분&함수의 그래프와 미분_난이도 상

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x}$ 가 있다. 곡선 $y=f(x)$ 에 접하는 직선 중 $y$ 절편이 최대인 직선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-1$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $l$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\dfrac{q}{p}e^3$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 양수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $31$