함수의 극한&미분가능성_난이도 상 (2017년 4월 교육청 가형 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 와 $$g(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=0$ 의 실근은 $0$ 과 $2$ 뿐이고 허근은 존재하지 않는다.

(나) $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)^3}{f(x)}$ 이 존재한다.

(다) 함수 $\left | \dfrac{g(x)}{x} \right |$ 는 $x=\dfrac{5}{4}$ 에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 $g(x)$ 의 극솟값을 $k$ 라 할 때, $27k$ 의 값을 구하시오.

정답 $50$