부등식의 영역_난이도 중

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-1, \; 3), \;\; B(1, \; -3)$ 과 영역 $D \;: \; 2|x|+|y| \ge k$ 가 있다. 명제

'영역 $D$ 에 속하는 어떤 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm APB=90^o$ 이다.'

가 참이 되도록 하는 자연수 $k$ 의 개수를 구하시오.

정답 $7$