부등식의 영역_난이도 상 (2018년 3월 교육청 고2 나형 29번)

어느 상점에서 두 원료 $\rm P, \; Q$ 를 혼합하여 두 향수 $\rm A, \; B$ 를 생산, 판매한다. 두 향수 $\rm A, \; B$ 를 각각 $1$ 병씩 만드는 데 사용되는 두 원료 $\rm P, \; Q$ 의 양은 다음 표와 같다.

원료 $\rm P$ 의 구입 비용은 $100\rm ml$ 당 $1$ 만 원이고 원료 $\rm Q$ 의 구입 비용은 $100\rm ml$ 당 $2$ 만 원이다. 한 달에 생산할 수 있는 두 향수 $\rm A, \; B$ 의 병의 개수의 합이 최대 $50$ 이고, 한 달에 사용할 수 있는 두 원료 $\rm P, \;Q$ 의 총 구입 비용은 최대 $110$ 만 원이다. 향수 $\rm A$ 의 판매 가격은 $1$ 병당 $a$ 만 원이고, 향수 $\rm B$ 의 판매 가격은 $1$ 병당 $\dfrac{9}{10}a$ 만 원이다. 이 상점에서 두 향수 $\rm A, \; B$ 를 한 달 동안 판매한 금액의 합의 최댓값이 $376$ 만 원이 되기 위한 $a$ 의 값을 구하시오.

정답 $8$