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도형과 무한등비급수_난이도 상 (2016년 4월 교육청 나형 20번) 본문

(9차) 미적분 I 문제풀이/수열의 극한

도형과 무한등비급수_난이도 상 (2016년 4월 교육청 나형 20번)

수악중독 2016. 4. 6. 16:05

그림과 같이 한 변의 길이가 44 인 정사각형에 내접하는 원 O1O_1 이 있다. 정사각형과 원 O1O_1 의 접점을 각각 A1,  B1,  C1,  D1\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1 이라 할 때, 원 O1O_1 과 두 선분 A1B1,  B1C1\rm A_1B_1, \; B_1C_1 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R_1 이라 하자.

그림 R1R_1 에서 두 선분 A1B1,  B1C1\rm A_1B_1, \; B_1C_1 을 각각 3:13:1 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 O1O_1 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 O2O_2 라 하고 그 접점을 각각 A2,  B2,  C2,  D2\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2 라 할 때, 원 O2O_2 와 두 선분 A2B2,  B2C2\rm A_2B_2, \; B_2C_2 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R_2 라고 하자.

그림 R2R_2 에서 두 선분 A2B2,  B2C2\rm A_2B_2, \; B_2C_2 을 각각 3:13:1 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 R1R_1 에서 그림 R2R_2 를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R3R_3 라고 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 nn 번째 얻은 그림 RnR_n 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS_n 이라 할 때, limnSn\lim \limits_{n \to \infty} S_n 의 값은?

3211(π2)\dfrac{32}{11}(\pi-2)          ② 3411(π2)\dfrac{34}{11}(\pi-2)          ③ 3611(π2)\dfrac{36}{11}(\pi-2)          ④ 3211(π1)\dfrac{32}{11}(\pi-1)          ⑤ 3411(π1)\dfrac{34}{11}(\pi-1)