수열의 극한_무한대/무한대 꼴_난이도 상 (2016년 3월 교육청 나형 13~14번)

자연수 $n$ 에 대하여 좌표가 $(0, \; 3n+1)$ 인 점을 ${\rm P}_n$, 함수 $f(x)=x^2\;(x \ge 0)$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $ y=f(x)$ 와 만나는 점을 ${\rm, Q}_n$ 이라 할 때, 다음 두 물음에 답하시오.

(1) 점 ${\rm Q}_n$ 의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ f^{-1}(a_2) \cdot f ^{-1} (a_9)$ 의 값은?

① $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$          ② $7$          ③ $ 7\sqrt{2}$          ④ $7\sqrt{3}$          ⑤ $14$

(2) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 ${\rm R}_n$ 은 직선 ${\rm P}_n{\rm R}_n$ 의 기울기가 음수이고 $y$ 좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 ${\rm P}_n{\rm OQ}_n$ 의 넓이를 $S_n$ , 삼각형 ${\rm P}_n{\rm OR}_n$ 의 넓이가 최대일 때 삼각형 ${\rm P}_n{\rm OR}_n$ 의 넓이를 $T_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n - T_n}{\sqrt{n}}$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

① $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$          ④ $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$           ⑤ $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

정답 (1) ⑤    (2) ①