수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 세 선분 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 의 중점을 각각 $\rm D, \; E,\; F$ 라 하고 두 정삼각형 $\rm BED, \; ECF$ 를 그린 후 마름모 $\rm ADEF$ 에 중심이 $\rm O$ 인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 $\rm DE, \; EF$ 의 접점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 할 떄, 사각형 $\rm OPEQ$ 를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

그림 $R_2$ 에서 새로 그려진 네 개의 정삼각형의 내부에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$ 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $6\sqrt{3}$          ② $\dfrac{13}{2} \sqrt{3}$          ③ $7\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{15}{2} \sqrt{3}$          ⑤ $8 \sqrt{3}$

정답 ①