수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 정삼각형 $\rm ABC$ 의 외심을 $\rm O$ 라 할 때, 중심이 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm AO}$ 인 원을 $O_{\rm A}$ , 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BO}$ 인 원을 $O_{\rm B}$, 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm CO}$ 인 원을 $O_{\rm C}$ 라 하자. 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm B}$ 의 내분의 공통부분, 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm C}$ 의 내부의 공통부분, 원 $O_{\rm B}$ 와 원 $O_{\rm C}$ 의 내분의 공통부분 중 삼각형 $\rm ABC$ 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에 원 $O_{\rm A}$ 가 두 선분 $\rm AB, \; AC$ 와 만나는 점을 각각 $\rm D, \; E,$ 원 $O_{\rm B}$ 가 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 와 만나는 점을 각각 $\rm F, \; G$, 원 $O_{\rm C}$ 가 두 선분 $\rm BC, \; AC$ 와 만나는 점을 각각 $\rm H, \; I$ 라 하고, 세 정삼각형 $\rm AFI, \; BHD, \; CEG$ 에서 $R_1$ 을 얻는 과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는 모양의 도형 $3$ 개에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

그림 $R_2$ 에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 $R_1$ 에서 $R_2$ 를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형 $9$ 개에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$ 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $\left ( 2 \pi -3 \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )$         

② \( \left ( \pi - \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )\)

③ $\left ( 2 \pi -3 \sqrt{3} \right ) \left (2 \sqrt{3} +3 \right )$

④ \( \left ( \pi - \sqrt{3} \right ) \left ( 2\sqrt{3} +3 \right )\)

⑤ $\left ( 2 \pi -2 \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )$

정답 ③