수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이고 반지름의 길이가 \(6\) 인 부채꼴 \(\rm OAB\) 가 있다. 

부채꼴 \(\rm OAB\) 에 내접하는 원 \(O_1\) 이 두 선분 \(\rm OA, \; OB\), 호 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm A_1, \; B_1, \; C_1\) 이라 하고, 부채꼴 \(\rm OA_1B_1\) 의 외부와 삼각형 \(\rm A_1C_1B_1\) 의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자.

부채꼴 \(\rm OA_1B_1\) 에 내접하는 원 \(O_2\) 가 두 선분 \(\rm OA_1, \; OB_1\), 호 \(\rm A_1B_1\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm A_2, \; B_2, \; C_2\) 이라 하고, 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 의 외부와 삼각형 \(\rm A_2C_2B_2\) 의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S_2\) 이라 하자.

외와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 부채꼴 \(\rm OA_{\it n}B_{\it n}\) 의 외부와 삼각형 \(\rm A_{\it n}C_{\it n}B_{\it n}\) 의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(8\sqrt{3}-3\pi\)          ② \(8\sqrt{3}-2\pi\)          ③ \(9\sqrt{3}-3\pi\)          

④ \(8\sqrt{3}-2\pi\)          ⑤ \(10\sqrt{3}-3\pi\)       

정답 ③