수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{3}$ 이고 반지름의 길이가 $6$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 

부채꼴 $\rm OAB$ 에 내접하는 원 $O_1$ 이 두 선분 $\rm OA, \; OB$, 호 $\rm AB$ 와 만나는 점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1$ 이라 하고, 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 의 외부와 삼각형 $\rm A_1C_1B_1$ 의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_1$ 이라 하자.

부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 에 내접하는 원 $O_2$ 가 두 선분 $\rm OA_1, \; OB_1$, 호 $\rm A_1B_1$ 와 만나는 점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2$ 이라 하고, 부채꼴 $\rm OA_2B_2$ 의 외부와 삼각형 $\rm A_2C_2B_2$ 의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_2$ 이라 하자.

외와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 부채꼴 $\rm OA_{\it n}B_{\it n}$ 의 외부와 삼각형 $\rm A_{\it n}C_{\it n}B_{\it n}$ 의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $8\sqrt{3}-3\pi$          ② $8\sqrt{3}-2\pi$          ③ $9\sqrt{3}-3\pi$          

④ $8\sqrt{3}-2\pi$          ⑤ $10\sqrt{3}-3\pi$       

정답 ③