수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 직선 \(l\) 위의 점 \(\rm O_1\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 반원 \(H_1\) 이 있다.

반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm O_1P\) 와 직선 \(l\) 이 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이룰 때, 반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(m\) 이라 하고, 직선 \(l, \;m\) 의 교점을 \(\rm A\) 라 하자.

지름이 선분 \(\rm O_1A\) 위에 있고 반원 \(H_1\) 과 직선 \(m\) 에 동시에 접하는 반원을 \(H_2\) 라 하고, 두 반원 \(H_1, \; H_2\) 와 직선 \(m\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자.

반원 \(H_2\) 의 중심을 \(\rm O_2\) 라 할 때, 지름이 \(\rm O_2A\) 위에 있고 반원 \(H_2\) 와 직선 \(m\) 에 동시에 접하는 반원을 \(H_3\) 이라 하고, 두 반원 \(H_2, \; H_3\) 과 직선 \(m\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\) 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 \(S_n\) 에 대하여 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(2\sqrt{3}- \dfrac{11}{12}\pi\)                    ② \(3\sqrt{2}- \dfrac{5}{6}\pi\)                    ③ \(3\sqrt{3}- \dfrac{3}{8}\pi\)        

 

④ \(3\sqrt{3}- \dfrac{5}{8}\pi\)                      ⑤ \(3\sqrt{3}- \dfrac{7}{8}\pi\)         

 

 

정답 ①