미적분과 통계기본_미분_접선의 방정식_난이도 중

닫힌 구간 \([0,\;2]\) 에서 정의된 함수 \[f(x)=ax(x-2)^2\;\; \left ( a> \dfrac{1}{2} \right )\] 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 와 직선 \(y=x\) 의 교점 중 원점 \(\rm O\) 가 아닌 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 원점으로부터 점 \(\rm A\) 까지 곡선 \(y=f(x)\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\rm OAP\) 의 넓이가 최대가 되는 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{2}\) 이다. 상수 \(a\) 의 값은?

① \(\dfrac{5}{4}\)          ② \(\dfrac{4}{3}\)          ③ \(\dfrac{17}{12}\)          ④ \(\dfrac{3}{2}\)          ⑤ \(\dfrac{19}{12}\)

정답 ②