미적분과 통계기본_함수의 연속성_중간값의 정리_난이도 중

다음은 세 변의 길이가 모두 다른 예각삼각형에서 각 변을 같은 길이만큼 짧게 했을 때, 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재함을 증명한 것이다.

예각삼각형의 세 변의 길이를 $a,\;b,\;c\; (a<b<c)$ 로 놓으면 $a^2 +b^2 >c^2$ 이다.

그런데 $x$ 만큼 짧아진 삼각형의 세 변의 길이는 $a-x,\; b-x,\;c-x$ 이므로 $0<x<(가)$ 이다.

따라서 등식 $(a-x)^2 +(b-x)^2 =(c-x)^2$ 을 만족시키는 실수 $x$ 가 $0<x<(가)$ 에서 존재함을 보이면 된다.

$f(x)=(a-x)^2 +(b-x)^2 -(c-x)^2$ 으로 놓으면 $f(x)$ 는 연속함수이고, $f(0)\; (나) \; 0,\;\; f(가)\; (다)\; 0$ 이므로 중간값의 정리에 의해 $0<x<(가)$ 에서 $f(x)=0$ 인 $x$ 가 존재한다.

그러므로 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

① $a+b-c,\;\;<,\;\;>$

② $a+b-c,\;\;>,\;\;<$

③ $a+b+c,\;\;<,\;\;>$

④ $a,\;\;<,\;\;>$

⑤ $a,\;\;>,\;\;<$

정답 ②