수악중독

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고 \[ (a_{n+1})^{n+1} = \dfrac{a_1 + (a_2)^2 + (a_3)^3 + \cdots + (a_n)^n}{n} \;\; (n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음을 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정의 일부이다. \(b_n=(a_n)^n\) 이라 하면 \(b_1=10\) 이고 주어진 식으로부터 \(b_{n+1}=\dfrac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} \;\; (n \ge 1)\)이다. \(S_n = \sum \limits_{k=1}^{n} b_k\) 라 하면 \(S_{n+1} = (가) \times S_n\)이다. \(s_1 = 10\), \( S_n = S_1 \times \df..

다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int _{-\frac{\pi}{2}}^{x} \cos x \cdot f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=0\) ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(-x)=-g(x)\) 이다.ㄷ. \(g'(x)=0\) 인 실수 \(c\) 가 열린구간 \(\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 에서 적어도 두 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

좌표공간에서 구 \[S:\;(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 =4\] 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b \sqrt{3} \right ) \pi \) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 자연수이다.) 정답 13

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=\log_3 x\) 의 그래프 위의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 점을 \({\rm A}_n\) 이라 하자. 그래프 위의 점 \({\rm B}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm C}_n\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \({\rm C}_n\) 은 선분 \({\rm A}_n {\rm B}_n\) 과 \(x\) 축의 교점이다.(나) \(\overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}\;:\; \overline{{\rm C}_n {\rm B}_n} = 1:2\) 점 \({\rm C}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac..

한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 \(5\) 번 반복한다. 각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다. (가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이 나오면 ○를 표시한다.(나) 두 번째 시행부터 (1) 뒷면이 나오면 ○를 표시하고, (2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면 ○, 뒷면이면 △를 표시한다. 예를 들어, 동전을 \(5\) 번 던져 '앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면'이 나오면 다음과 같이 표가 작성된다. 시행 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) 표시 △ ○ △ ○ ○ 한 개의 동전을 \(5\) 번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의 개수를 확률변수 \(x\) 라 하자. \({\rm P}(X=2)\) 의 값은? ① \(\dfr..

시간이 지남에 따라 일정한 비율로 늘어나는 두 종류의 세균 \(A, \; B\) 가 있다. \(A\) 는 \(3\) 시간이 지날 때마다 그 수가 \(2\) 배개로 늘어나고, \(B\) 는 \(5\) 시간이 지날 때마다 \(3\) 배로 늘어난다. \(A\) 세균 \(100\) 마리와 \(B\) 세균 \(1000\) 마리를 동시에 배양하기 시작하였을 때, \(A\) 의 수가 \(B\) 의 수 이상이 되도록 배양하는데 걸리는 최소의 시간은? (단, \(\log_{10} 2 =0.3,\;\; \log_{10} 3 =0.48\) 로 계산한다.) ① \(250\) ② \(270\) ③ \(290\) ④ \(310\) ⑤ \(330\) 정답 ①

수직선 위의 원점에서 두 점 \( \rm{ A , \; B } \) 가 동시에 같은 방향으로 출발하였다. 출발한 지 \( t \) 초 후 두 점 \( \rm A , \; B \) 의 속도를 각각 \( v_{\rm{A}}(t) , \; v_{\rm{B}}(t) \) 라고 할 때, \[ v_{\rm{A}}(t)=t(a-t)(2a-t)\;(a>0)\] \[ v_{\rm{B}}(t)= b-2t \; (b \geq 0 ) \] 이다 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \( a=1 \) 이면 \( \rm A , \; B \) 는 출발 후 한 번 만난다. ㄴ. \( a=2 \) 일 때, \( \rm A , \; B \) 가 출발 후 세 번 만나기 위한 \(b\)의 값의 범위는 \( \dfr..