수악중독

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다. (나) \(\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{f(x)-2}{x+1}\) 와 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-3}{x-2}\) 의 값이 모두 존재한다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린 구간 \((1, \;2)\) 에서 적어도 \(1\) 개의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 \(\log \{f(x)\}^2 = \log f(x)\) 는 열린 구간 \((-1, \;2)\) 에서 적어도 \(2\) 개의 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(4^{ \{f(x) \}..

연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3-1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

그림은 함수 \( f(x) = \left \{ {\begin{array}{cl}1 & {\left( {x \le 0} \right)} \\ {-x+1} & {\left( {x>0} \right ) }\end{array}} \right. \) 의 그래프이다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int _{-1}^x e^t f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1-\dfrac{1}{e}\) ㄴ. 함수 \(g(x)\) 는 극댓값 \(e- \dfrac{1}{e}\) 을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=0\) 의 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)\) 가 임의의 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1\] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) ㄴ. 함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((-1, \;1)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

두 함수 \(f(x)=x^3 +ax^2 +bx+c,\;\; g(x)=px^2 +qx+r\) 에 대하여 \[f(0)g(1),\;\; f(2)g(3)\] 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a>p\) ㄴ. \(b>q\) ㄷ. \(c

\(f(x)\) 는 \(x\) 에 대한 다항식이고, \[\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a,\;\; \lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2}=b,\; ab>0\]일 때 \(f(x)=0\) 은 닫힌 구간 \([1, \;2]\) 에서 적어도 \(3\) 개의 실근을 가짐을 보여라. 풀이 참조

다음은 세 변의 길이가 모두 다른 예각삼각형에서 각 변을 같은 길이만큼 짧게 했을 때, 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재함을 증명한 것이다. 예각삼각형의 세 변의 길이를 \(a,\;b,\;c\; (a

연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} =a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3 -1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) 함수 \(f(x)\) 모든 실수에서 연속이다. (나) 모든 정수 \(m\) 에 대하여 \(f(2n)=1\) 이고 \(f(2n+1)=-1\) 이다. 함수 \(f(x)\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(x)\) 는 역함수가 존재하지 않는다. ㄴ. 닫힌구간 \([1,\;2]\) 에서 \(f(x)\) 의 최댓값은 \(1\) 이다. ㄷ. 자연수 \(m\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린구간 \((0,\;2m)\) 에서 적어도 \(2m\) 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)=x^3 +ax-a-2\) 에 대하여 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(a\) 는 상수) ㄱ. 곡선 \(y=f(x)\) 는 \(a\) 의 값에 관계 없이 점 \((1,\;-1)\) 을 지난다. ㄴ. \(f(x),\;f(2)\) 중 적어도 하나는 \(0\) 보다 크다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((0,\;2)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤