수악중독

한 변의 길이가 $12$ 인 정삼각형 $\rm BCD$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 삼각형 $\rm CHD$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 의 넓이의 $3$ 배, 삼각형 $\rm DBH$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 넓이의 $2$ 배이고, $\overline{\rm AH}=3$ 이다. 선분 $\rm BD$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm CM$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 선분 $\rm AQ$ 의 길이는? ① $\sqrt{11}$ ② $2\sqrt{3}$..

$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l, \; m$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\theta$ 이다.(나) 두 직선 $l, \;m$ 은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2} \;(-1 \le x \le 1)$ 과 각각 만난다. 두 직선 $l$ 과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) d \theta = a+b \sqrt{2} \pi$ 이다.$20(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$는 유리수이다.) 정답..

그림과 같이 좌표평면에 세 점 $\rm O(0, \;0), \; A(8, \;4), \; B(7, \;a)$ 와 삼각형 $\rm OAB$ 의 무게중심 $\rm G(5, \;b)$ 가 있다. 점 $\rm G$ 와 직선 $\rm OA$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 는 정수이다.)① $16$ ② $17$ ③ $18$ ④ $19$ ⑤ $20$ 정답 ①무게중심의 좌표에서 $$\dfrac{0+a+4}{3}=b \;\; \cdots\cdots ①$$또한 직선 $\rm OA$ 의 방정식은 $x-2y=0$ 이므로 점 $G$ 에서 직선 $\rm OA$ 까지의 거리에서 $$\dfrac{|5-2b|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$$$5-2b=\pm 5$$$\theref..

좌표평면 위의 세 점 $\rm A, \;B, \;C$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심을 $\rm G$ 라 하고, 변 $\rm AB$, 변 $\rm BC$, 변 $\rm CA$ 의 중점의 좌표를 각각 $\rm L(2,\;1), \; M(4, \;-1), \; N({\it a, \; b})$ 라 하자. 직선 $\rm BN$ 과 직선 $\rm LM$ 이 서로 수직이고, 점 $\rm G$ 에서 직선 $\rm LM$ 까지의 거리가 $4\sqrt{2}$ 일 때, $ab$ 의 값은? (단, 무게중심 $\rm G$ 는 제1사분면 위에 있다.) ① $60$ ② $90$ ③ $120$ ④ $150$ ⑤ $180$ 정답 ⑤

그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{2x+3}$ 의 그래프와 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2} \left (x^2-3 \right ) \; (x \ge 0)$ 의 그래프가 만나는 점을 $\rm A$라 하자. 함수 $y=f(x)$ 위의 점 $\rm B \left ( \dfrac{1}{2}, \; 2 \right )$ 를 지나고 기울기가 $-1$ 인 직선 $l$ 이 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm C$ 라 할 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는?① $\dfrac{9}{4}$ ② $\dfrac{19}{8}$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $\dfrac{21}{8}$ ⑤ $\dfrac{11}{4}$ 정답 ④

그림과 같이 점 $\rm A(-2, \;2)$ 와 곡선 $y=\dfrac{2}{x}$ 위의 두 점 $\rm B, \; C$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 저 $\rm B$ 와 점 $\rm C$ 는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다.(나) 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $2\sqrt{3}$이다. 점 $\rm B$ 의 좌표를 $(\alpha, \; \beta)$ 라 할 때, $\alpha^2 + \beta ^2$ 의 값은? (단, $\alpha > \sqrt{2}$ )① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 정답 ④

그림과 같이 점 $\rm A(4, \;3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 인 원 $x^2+y^2=10$ 과 두 점 $\rm P, \;Q$ 에서 만난다. $\overline{\rm AP}=3$ 일 때, 직선 $l$ 의 기울기는?① $\dfrac{23}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{25}{7}$ ④ $\dfrac{26}{7}$ ⑤ $\dfrac{27}{7}$ 정답 ②

직선의 결정조건 - 한 점과 기울기 직선의 방정식 축에 평행한 직선의 방정식 두 직선의 위치 관계 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 점과 직선 사이의 거리 좌표평면에서 점 ${\rm P}(x_1, \; y_1)$ 와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리를 $d$ 라고 하면 $$d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 점 $\rm P$ 와 직선 $l\; : \; ax+by+c=0\;\;(a\ne 0, \; b \ne 0)$ 사이의 거리를 $d$, 점 $\rm P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 ${\rm H}(x_2, \; y_2)$ 라고 하면 $d=\overline{\rm PH}$ 이다. 이때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-\dfrac{a}{b}$ 이고 ..

좌표공간에서 평면 \(x+y+z=1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\rm Q\) 는 반직선 \(\rm OP\) 위의 점이다. (나) \(\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} = 1\) 세 점 \({\rm A}(1,\;0,\;0), \;\; {\rm B}(0,\;1,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;1)\) 이고, \(\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right |\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm Q\) 를 \(\rm D\) 라 할 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ①..

좌표공간에서 직선 \(g\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g\) 의 방향벡터 \(\vec{u}=(a,\;b,\;c)\) 에 대하여 \(abc \ne 0\) 이다. (나) 직선 \(g\) 는 원점을 지나는 직선과 점 \((1, \; -1,\; 1)\) 에서 수직으로 만난다. 점 \({\rm A}(0,\;0,\;1)\) 과 직선 \(g\) 사이의 거리의 최솟값은? ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) 정답 ②