수악중독

다음은 \(n\) 이 소수일 때, \( _{2n} {\rm C} _n -2\) 는 \(n^2\) 의 배수임을 증명한 것이다. \((1+x)^{2n} = \sum \limits _{k=0}^{2n} {_{2n} {\rm C} _{k} x^k }\) 에서 \((가)\) 의 계수는 \(_{2n} {\rm C} _n \) 이다. 한편 \({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_k}{x^k}} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_{n - k}}{x^{n - k}}} } \right)\) 따라서 \(_{2n}{{\rm{C}}..

수열 \(\{a_n\}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(S_n\)이 다음과 같다고 할 때, \(a_6\) 의 값을 구하시오. \[{S_n} = {}_n{{\rm{C}}_1} + {}_n{{\rm{C}}_2} \cdot 2 + {}_n{{\rm{C}}_3} \cdot {2^2} + {}_n{{\rm{C}}_4} \cdot {2^3} + \cdots + {}_n{{\rm{C}}_n} \cdot {2^{n - 1}}\] 정답 243

양의 정수 \(n\)에 대하여 \( \left ( 4x^3 - {\dfrac{1}{2x^2}} \right)^n \)을 전개했을 때 상수항이 존재하도록 하는 \(n\)의 최솟값을 구하고, 그 때의 상수항을 구하시오. 정답 n=5, 상수항=-20

\(0123456789\) 의 순서는 그대로 놓고, \(6\)개 이상의 부분 (예; \(012\), \(3\), \(4\), \(56\), \(7\), \(8\), \(9\) )으로 나누는 경우의 수를 구하시오. 정답 256

\(\sum \limits _{n=0}^{\infty} \sum \limits _{k=0}^{n} {_n {\rm C} _k} \cdot \cos ^k \left (k \pi +{\dfrac{\pi}{3}} \right )\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{3}{2}\) ⑤ \(2\) 정답 ⑤ 

\((0.99)^5\) 을 이항정리를 이용하여 계산하였을 때, 소수점 아래 첫째 자리의 수, 둘째 자리의 수, 셋째 자리의 수를 차례로 \(a,\;b,\;c\) 라 한다. 이 때, \(a+b+c\) 의 값을 구하시오. 정답 14

\(9^{11}\) 을 \(100\) 으로 나눌 때의 나머지를 구하시오. 정답 9

\(50\) 이하의 자연수 \(n\) 중에서 \(\sum \limits _{k=1}^{n} {_n {\rm C} _k}\) 의 값이 \(3\) 의 배수가 되도록 하는 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 25

다음은 \(n\) 이 \(2\) 이상의 자연수일 때 \(\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right )^2\) 의 값을 구하는 과정이다. 두 다항식의 곱 \(\left ( a_0 +a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right ) \left ( b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n \right ) \) 에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 \(a_0 b_{n-1} +a_1 b_{n-2} + \cdots + a_{n-1} b_0\;\;\;\cdots \cdots (*)\) 이다. 등식 \((1+x)^{2n-1} = (1+x)^{n-1} (1+x)^n \) 의 좌변에서 \(x^{n-1}\) 의 계수는 ( 가 )이..

등식 \(\sum \limits _{k=0}^{10} (-x)^k = \sum \limits _{k=0}^{10} a_k (1+x)^k \) 을 만족하는 상수 \(a_k\) 중 \(a_2\) 의 값을 구하시오. (단, \(0 \le k\le 10\) ) 정답 165