수악중독

다항식 \(2(x+a)^n\) 의 전개식에서 \(x^{n-1}\) 의 계수와 다항식 \((x-1)(x+a)^n\) 의 전개식에서 \(x^{n-1}\) 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 \((a,\;n)\) 에 대하여 \(an\) 의 최댓값을 구하시오. (단, \(a\) 는 자연수이고, \(n\) 은 \(n\geq 2\) 인 자연수이다.) 정답 \(12\)

다음 조건을 만족시키는 \(9\) 개의 상자가 있다. [상자 \(r\)] 에는 흰 구슬 \(r\) 개, 검은 구슬 \((8-r)\) 개가 들어 있다. (단, \(r=0,\;1,\;2,\; \cdots,\; 8\)) 다음은 동전 \(8\) 개를 동시에 던져 앞면이 나오는 개수에 해당하는 번호의 상자에서 구슬을 한 개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률을 구하는 과정의 일부이다. \(\rm I.\) 이항정리에 의하여 \((1+x)^8 = \;_8 {\rm C} _0 +\; _8 {\rm C}_1 x + _8 {\rm C}_2 x^2 + \cdots + _8 {\rm C}_8 x^8\) 이 식의 양변을 \(x\) 에 대하여 미분하면 \( 8(1+x)^7 = _8 {\rm C}_1 + 2 \cdot _8 {\rm ..

여섯 면에 \(1\) 부터 \(6\) 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀있는 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 \(100\) 번 반복하여 던질 때, \(3\) 의 배수가 \(k\) 번 나올 확률을 \({\rm P}(k)\) 라 하자. \( \sum \limits_{k=1}^{50} \{ {\rm P}(2k-1)-{\rm P}(2k) \}\) 의 값은? ① \(\left (\dfrac{1}{3} \right ) ^{100}\) ② \( \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{100} - \left ( \dfrac{1}{3} \right )^{100}\) ③ \( \left ( \dfrac{1}{3} \right )^{100} - \left ( \dfrac{2}{3} \right )..

\(\left ( x^2 + \sqrt{2} \right ) ^{2n} \) 의 전개식에서 계수가 자연수인 항의 계수의 합은? ① \(\dfrac{\left ( 1+ \sqrt{2} \right )^{n-1} + \left ( 1-\sqrt{2} \right )^{n-1} }{2} \) ② \(\dfrac{\left ( 1+ \sqrt{2} \right )^{n} + \left ( 1-\sqrt{2} \right )^{n} }{2} \) ③ \(\dfrac{\left ( 1+ \sqrt{2} \right )^{n} - \left ( 1-\sqrt{2} \right )^{n} }{2} \) ④ \(\dfrac{\left ( 1+ \sqrt{2} \right )^{2n} + \left ( 1-\sqrt{2}..

\( (1-2x)^9 = a_0 + a_1 x + a_2 x ^2 + \cdots + a_9 x^9 \) 에 대하여 \[ {\rm log}_3 ( |a_0| + |a_1|+\cdots+|a_9|)\]의 값은? ① \(3\) ② \(6\) ③ \(9\) ④ \(12\) ⑤ \(15\) 정답 ③

함수 \( f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x + \cdots + a_9 x^9 \) 에 대하여 \[ f(x-1) = 1+x+x^2+\cdots+x^9 \]이 성립할 때, \( a_2 \) 의 값을 구하여라. 정답 120

아래 그림과 같이 수를 늘어놓을 때, 제 \( 11 \) 행의 왼쪽에서 \( 5 \) 번째 수에서 제 \( 10 \) 행의 왼쪽에서 \( 5 \) 번째 수를 뺀 값은? ① \(100\) ② \(120\) ③ \(140\) ④ \(160\) ⑤ \(180\) 정답 ②

다음 물음에 답하시오. (1) \( (1+x)^2 + (1+x)^3 + (1+x)^4 + \cdots + (1+x)^n \) 의 전개식을 이용하여 \[ _{2}{\rm C} _ 2 {+}{}_3 {\rm C} _2 {+}{}_4 {\rm C}_2 + \cdots {+}{}_n {\rm C} _2 {=}{}_{n+1} {\rm C}_3 \; ( n \geq 2 ) \]가 성립함을 보이시오. (2) \( (1+2x)^2 + (1+2x)^3 + (1+2x)^4 + \cdots + (1+2x)^{10} \) 의 전개식에서 \( x^2 \) 의 계수를 구하시오. 정답 (1) 풀이 참조 (2) 660

다음을 이용하여 \( \left( {}_{12} {\rm C} _ 0 \right) ^ 2 + {(}{}_{12} {\rm C}_1 )^2 + {(}{}_{12} {\rm C} _2 ) ^2 + \cdots + {}({}_{12} {\rm C} _{12} ) ^2 \) 을 간단히 하면? (가) \( (1 + x ) ^{24} = ( 1+x )^{12} (1+x)^{12} \)(나) \( _n {\rm C} _r {=}{}_ n {\rm C} _ {n-r} \) ( \(n\) 은 자연수, \( r \) 는 정수, \( 0 \leq r \leq n \) ) ① \( 2^{12} \) ② \( _{24} {\rm P} _{12} \) ③ \( _{24} {\rm C} _{12} \) ④\( {(}{}_{24}..

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_n = \sum \limits_{r=0}^{n} {_n}{\rm C}_r 3^r 2^{n-r}\) 이다. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^n -2^n}{a_n} = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11 [수능 수학/수능수학] - 이항정리