미적분과 통계기본_확률_독립시행의 확률_난이도 중

다음 조건을 만족시키는 $9$ 개의 상자가 있다.

  [상자 $r$] 에는 흰 구슬 $r$ 개, 검은 구슬 $(8-r)$ 개가 들어 있다. 

   (단, $r=0,\;1,\;2,\; \cdots,\; 8$) 

다음은 동전 $8$ 개를 동시에 던져 앞면이 나오는 개수에 해당하는 번호의 상자에서 구슬을 한 개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률을 구하는 과정의 일부이다.

$\rm I.$ 이항정리에 의하여 $(1+x)^8 = \;_8 {\rm C} _0 +\; _8 {\rm C}_1 x +  _8 {\rm C}_2 x^2 + \cdots +  _8 {\rm C}_8 x^8$

     이 식의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하면

     $8(1+x)^7 =  _8 {\rm C}_1 + 2 \cdot  _8 {\rm C}_2 x + \cdots + 8 \cdot  _8 {\rm C}_8 x^7$

     $\sum \limits_{r=1}^{8} r \cdot  _8 {\rm C}_r = (\; 가\; )$ 이다.

$\rm II.$ 동전 $8$ 개를 동시에 던져 나온 앞면의 개수가 $r$ 인 사건을 $A_r$,

     꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건을 $B$ 라 하면

     ${\rm P} (B)=\sum \limits_{r=1}^{8} {\rm P}(A_r \cap B)$ 이므로

                    $\vdots$

따라서 구하는 확률 ${\rm P}(B)=( \; 나\; )$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 값의 곱은?

① $64$          ② $128$          ③ $256$          ④ $512$          ⑤ $1024$

정답 ④