수악중독

중심이 \(\rm O\) 이고 반지름이 \(3\) 인 구 \(S\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\) 와 \(S\) 위에 있지 않은 점 \(\rm P\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\) (나) 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 는 구 \(S\) 와 접한다. (다) 평면 \(\rm OAP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 는 서로 수직이다. 평면 \(\rm ABP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(20 \tan^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)

두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 두 점 \(\rm A, \;B\) 가 있고 \(\overline{\rm AB}=13\) 이다. 평면 \(\alpha\) 위의 점 \(\rm C\) 에 대하여 삼각형 \(\rm ABC\) 는 \(\angle \rm C=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형이고, 점 \(\rm C\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm C'\) 이라 할 때, \(\overline{\rm AC'}=2\sqrt{35},\; \overline{\rm BC'}=\sqrt{21}\) 이다. 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\sin \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+..

평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 \(C\) 가 있다. 직선 \(l\) 은 평면 \(\alpha\) 와 \(45^{\rm o}\) 의 각을 이루고, 직선 \(l\) 과 점 \(\rm O\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. 점 \(\rm O\) 를 지나고 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 \(l\)과 만날 때, \(l\) 을 포함하고 \(C\)와 한 점에서 만나는 두 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 하자. \(\cos ^2 \theta = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(10\)

그림과 같이 한 변의 길이가 \(8\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 를 평면 \(\alpha\) 에 정사영 시킨 도형은 \(\overline{\rm A'B'}=\overline{\rm A'C'}=7\) 인 삼각형 \(\rm A'B'C'\) 이다. 평면 \(\rm ABC\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? (단, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 세 변은 어느 것도 평면 \(\alpha\) 와 평행하지 않다.) ① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{1}{5}\) ③ \(\dfrac{1}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{3}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ③

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=9,\; \overline{\rm AD}=4\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 있다. 선분 \(\rm AB\) 위에 \(\overline{\rm AE}=4\) 인 점 \(\rm E\), 선분 \(\rm DC\) 위에 \(\overline{\rm DF=5}\) 인 점 \(\rm F\) 를 잡고, 두 점 \(\rm E, \;F\) 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 두 반평면 \(\rm AEFD\) 와 \(\rm EBCF\) 가 이루는 각의 크기가 \(60^{\rm o}\) 가 되도록 접었다. 이 접은 도형의 점 \(\rm B\) 에서 평면 \(\rm AEFD\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm B'\) 이라 하고, 점 \(\rm B' \)..

그림과 같이 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 변 \(\rm BC\) 의 연장선에 \(\angle \rm BAM= \angle \rm CAN = 45^{\rm o}\) 가 되도록 두 점 \(\rm M, \;N\) 을 잡아 이등변삼각형 \(\rm AMN\) 을 그리고, 두 선분 \(\rm AB\) 와 \(\rm AC\) 를 접는 선으로 하여 두 점 \(\rm M,\;N\) 이 합쳐지도록 삼각형 \(\rm AMN\) 을 접어서 입체를 만든다. 두 점 \(\rm M, \;N\) 이 합쳐지는 점을 \(\rm D\) 라 할 때, 네 점 \(\rm A, \;B,\;C,\;D\) 를 꼭짓점으로 하는 사면체 \(\rm DABC\) 에 대하여 평면 \(\rm DAB\) 와 평면 \(\rm ABC\) 가 이루는 이면각의 ..

평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 세 점 \(\rm A, \;B,\;C\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영 \(\rm P,\;Q,\;R\) 와 선분 \(\rm PQ\) 위의 점 \(\rm X\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle \rm XPR=\angle XRP, \;\; \overline{\rm BC} \parallel \alpha\) (나) \(\overline{\rm BX}=\overline{\rm CX},\; \overline{\rm BC}=2\) (다) \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AP}=\overline{\rm PQ}=4\) 두 점 \(\rm B,\;P\) 를 포함하고 직선 \(\rm RX\) 와 평행한 평면과 세 점 \(\r..

좌표공간 위에 두 점 \(\rm A(1, \;0,\;0), \;\;B(0,\;0,\;1)\) 이 있다. \(\rm B\) 를 지나고 \(y\) 축과 평행한 직선 위의 점 \(\rm C\) 와 \(xy\) 평면 위의 점 \(\rm D\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AC}=\sqrt{10}\) (나) 직선 \(\rm CD\) 는 \(zx\) 평면과 평행하다. (다) 직선 \(\rm BD\) 가 \(x\) 축과 이루는 예각의 크기는 \(45^{\rm o}\) 이다. 평면 \(\rm ABD\) 와 \(xy\) 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(60 \tan^2 \theta\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm D\) 의 \(x\) 좌표는 양..

그림과 같이 길이가 \(6\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 원 모양의 종이가 있다. 원 위의 점 \(\rm C\) 를 \(\widehat{\rm AC}=2\pi\) 가 되도록 잡고, 호 \(\rm AC\) 위에 있지 않는 원 위의 점 \(\rm D\) 를 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD}\) 가 되도록 잡는다. 이때, 선분 \(\rm AB\) 를 접는 선으로 하여 삼각형 \(\rm ADC\) 가 빗변이 \(\rm AC\) 인 직각삼각형이 되도록 이 종이를 접었다. 평면 \(\rm BAD\) 와 평면 \(\rm BAC\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(120 \cos^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

그림과 같은 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm I\) , 모서리 \(\rm DH\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm J\) 라 하자. 면 \(\rm IGJ\)와 밑면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{14}\) 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)