수악중독

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 로부터의 거리가 \(1\) 인 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta \left ( \dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 라 하자. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(y=x\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하고, 선분 \(\rm PQ\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 점 \(\rm M\) 의 \(y\) 좌표가 최대일 때, \(\tan \theta\) 의 값은?① \(2\) ② \(\dfrac{7}{3}\) ③ \(\dfrac{8}{3}\) ④ \(3\) ⑤ \(\dfrac{10}{3}\) 정답 ④ 문제..

\(x^2 +y^2 =2\) 와 \( y=-x+\dfrac{k}{x}\) 의 그래프가 제 \(1\) 사분면에서 만나도록 하는 \(k\) 의 최댓값을 \(M\) 이라고 할 때, \((M-1)^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(2\)

원점 \(\rm O\) 를 지나고 기울기가 \(\tan \theta\) 인 직선 \(l\) 이 있다. 두 점 \(\rm A (0,\;2),\;\; \rm B \left ( 2\sqrt{3}, \; 0 \right )\) 에서 직선 \(l\) 네 내린 수선의 발을 각각 \(\rm A', \;\; \rm B'\) 이라 하자. 원점 \(\rm O\) 로부터 점 \(\rm A'\) 까지의 거리와 점 \(\rm B'\) 까지의 거리의 합 \(\overline{\rm OA'} + \overline{\rm OB'} \) 이 최대가 되는 \(\theta\) 의 값은? \( \left ( 단, 0< \theta < \dfrac{\pi}{2} 이다. \right )\) ① \(\dfrac{\pi}{12}\) ② \(\df..

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =4\) 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 있다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 평면 \(y=4\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 평면 \(y+\sqrt{3}z+8=0\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_2 , \; Q_2\) 라 하자. \(2 \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_1 Q_1} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_2 Q_2} \right | ^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(24\)

\(0 \leq x \leq \pi\) 에서 정의된 함수 \[f(x)=2 \sin \left ( x + \dfrac{\pi}{3} \right ) + \sqrt{3} \cos x\] 가 \(x=\theta\) 에서 최댓값 \(M\) 을 가질 때, \(M \cos \theta\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(2\) ⑤ \(2 \sqrt{3}\) 정답 ⑤

\(\overline{\rm AB} = \sqrt{3},\;\overline{\rm BC} =1,\; \overline{\rm CA} =2\)인 직각삼각형 \(\rm AB\)에 외접하는 직사각형 \(\rm APQR\)가 있다. 점 \(\rm B\)는 선분 \(\rm PQ\) 위에 있고, 점 \(\rm C\)는 선분 \(\rm QR\) 위에 있다. \(\angle \rm BAP = \theta\)라 할 때, 사각형 \(\rm APQR\)의 넓이가 최대가 되는 \(\cos 2\theta\)의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 정답..

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\)이고, 중심각의 크기가 \(90^o\)인 부채꼴 \(\rm OAB\)가 있다. \(\overline {\rm AB}\)와 \(\overline{\rm OB}\) 위에 \(\overline{\rm OP} = \overline {\rm OQ}\)가 되도록 두 점 \(\rm P,\;Q\)를 정하고 호 \(\rm AB\) 위에 사각형 \(\rm PQRS\)가 직사각형이 되도록 두 점 \(\rm R,\;S\)를 정한다. 이 때, 직사각형 \(\rm PQRS\)의 넓이의 최댓값은? ① \(4\) ② \(2+\sqrt{2}\) ③ \(1+\sqrt{2}\) ④ \(\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{2}-1\) 정답 ⑤

그림에서 \(\Box \rm ABCD\)는 한 변의 길이가 \(1\)인 정사각형이고, \(\triangle \rm PQR\)는 정삼각형이다. \(\angle \rm APQ = \theta\)라고 할 때, \(\triangle \rm PQR\)의 한 변의 길이를 \(\theta\)로 나타내면? ① \({\rm cosec} \left ( {\dfrac{\pi}{6}} + \theta \right )\) ② \({\rm cosec} \left ( {\dfrac{\pi}{3}} + \theta \right )\) ③ \({\rm sec} \left ( {\dfrac{\pi}{6}} + \theta \right )\) ④ \({\rm sec} \left ( {\dfrac{\pi}{3}} + \theta \righ..

실수 \(b,\;c\)에 대하여 함수 \(f(x)=a\sin ^2 x + b \cos ^2 x + c \sin x \cos x\) 의 최댓값이 \(2\), 최솟값이 \(-1\)이라고 한다. 이 때, 정수 \(a\)의 개수를 구하시오. 정답 4개

빗변 \(\rm AC\) 의 길이가 2인 직각이등변 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부에 \(\angle \rm PBC = \angle \rm PCA\) 인 점 \(\rm P\) 를 잡을 때, 선분 \(\rm AP\)의 길이의 최솟값은? ① \(\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{5}-1\) ③ \(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) ④ \(2 \left ( \sqrt{3}-1 \right )\) ⑤ \(3 \left ( \sqrt{2}-1 \right )\) 정답 ②