수학2_삼각함수의 합성_난이도 중

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 로부터의 거리가 \(1\) 인 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta \left ( \dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 라 하자. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(y=x\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하고, 선분 \(\rm PQ\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 점 \(\rm M\) 의 \(y\) 좌표가 최대일 때, \(\tan \theta\) 의 값은?

① \(2\)          ② \(\dfrac{7}{3}\)          ③ \(\dfrac{8}{3}\)          ④ \(3\)          ⑤ \(\dfrac{10}{3}\) 

정답 ④

문제를 풀고 보니 마지막 부분에서 \(f(\theta)\) 를 미분했던데, 이 문제에서는 미분을 이용하지 않아도 됩니다. 계속 미분만 풀다 보니 아무 생각없이 미분을 사용해서 풀었네요. 동영상을 새로 찍어야 하는 귀차니즘 때문에 그냥 코멘트로 풀이를 대신합니다.

\(f(\theta)=\dfrac{\sqrt{10}}{4} \sin(\theta+\alpha)\) 이므로 \(\sin (\theta +\alpha)=1\) 즉, \(\theta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}\) 일때가 최대가 된단고 생각하여 풀어도 됩니다. 결과적으로 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\) 일 때 최대가 됩니다.