수악중독

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, 호 $\rm BP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\angle \rm POH = \angle PHQ$ 가 되도록 잡는다. $\angle \rm POH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OHQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $단 \left (단,\; 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ ① $\dfrac{..

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 $\rm O(0, \; 0)$ 이고 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 을 지나는 원 $C_1$ 위의 제1사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 하자. 점 $\rm P$ 를 원점에 대칭시킨 점을 $\rm Q$ , $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\rm R$ 라 하자. 선분 $\rm QR$ 를 지름으로 하는 원 $C_2$ 와 두 선분 $\rm PQ, \; AQ$ 와의 교점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 하자. $\angle \rm OPA = \theta$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm MQN, \; PNR$ 의 넓이를 각각 $S(\theta), \; T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle {\rm ABC} =2 \angle {\rm BAC}$ 를 만족하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm BAC }=\theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm APQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $$F(x) = \ln |f(x)|$$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 $$G(x) = \ln |g(x) \sin x|$$라 하자.$$\lim \limits_{x \to 1} (x-1) F'(x)=3, \;\; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{F'(x)}{G'(x)} = \dfrac{1}{4}$$일 때, $f(3)+g(3)$ 의 값은? ① $57$ ② $55$ ③ $53$ ④ $51$ ⑤ $49$ 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 두 변 $\rm BC, \; DC$ 위에 $\angle {\rm PDC} = \angle {\rm QBC} = \theta$ 가 되도록 점 $\rm P$ 와 $\rm Q$ 를 각각 잡고 선분 $\rm BQ$ 와 선분 $\rm DP$ 의 교점을 $\rm R$ 라 하자. 사각형 $\rm RPCQ$ 에 내접하는 원 $C_1$ 의 반지름의 길이를 $r_1$, 삼각형 $\rm RBP$ 에 내접하는 원 $C_2$ 의 반지름의 길이를 $r_2$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0^+}\dfrac{r_2}{r_1}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ③ $\dfrac{1}{..

그림과 같이 $\overline{\rm BC}=1$, $\angle \rm A = \dfrac{\pi}{2}$, $\angle \rm B=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 선분 $\rm AD$ 를 지름으로 하는 원이 선분 $\rm BC$와 접할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\overline{\rm CD}}{\theta ^3} = k$ 라 하자. $100k$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $\rm P$ 와 두 점 $\rm A(0, \; -1), \;\; B(1, \;0)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 와 점 $\rm P$ 를 지나는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. $\angle \rm POB=\theta$ 라 하고 삼각형 $\rm ORP$ 의 넓이를 $T(\theta)$, 부채꼴 $\rm OBP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{T(\theta)}{S(\theta)}=\alpha$ 이다. $100 \alpha$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제1사분면 위의 점이고, $\rm O$ 는 원점이다.)정답 $100$

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원의 둘레를 $n \;(n \ge 4)$ 등분한 점을 $\rm A_1, \; A_2, \; \cdots, \; A_{\it n}$ 이라 하자. 호 ${\rm A}_i {\rm A}_{i+1}(i=1, \;2, \; \cdots, \; n)$ 을 이등분한 점을 ${\rm M}_i$라 하고, 사각형 ${\rm A}_i{\rm M}_i {\rm A}_{i+1}{\rm N}_i$ 가 마름모가 되도록 하는 선분 ${\rm OM}_i$ 위의 점을 ${\rm N}_i$ 라 하자. $n$ 개의 사각형 $\rm A_1M_1A_2N_1$, $\rm A_2M_2A_3N_2$, $\rm A_3M_3A_4N_3$, $\cdots$, ${\rm A}_n{\rm M..

그림과 같이 중심이 원점 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 만나는 점을 $\rm A$, 원 $C$ 위에 있고 제1사분면에 있는 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$, $\angle{\rm POA}=\theta$ 라 하자. 삼각형 $\rm APH$ 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta ^2}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{8}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ④

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 점 \(\rm B\) 를 포함하지 않는 호 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle \rm PAC = \theta\) 라 하고, 선분 \(\rm PC\) 를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{s(\theta)}{\theta ^2} = a \pi\) 일 때, \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)