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목록수학2 - 문제풀이/적분 (118)
수악중독
함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=9x^2-8x+1$ 이고 $f(1)=10$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $20$
실수 $t \; \left (\sqrt{3} \lt t \lt \dfrac{13}{4} \right )$ 에 대하여 두 함수 $$f(x)=\left | x^2-3 \right |-2x, \quad g(x)=-x+t$$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4$ 라 하자. $x_4-x_1=5$ 일 때, 닫힌구간 $[x_3, \; x_4]$ 에서 두 함수 $y=f(x), \; y=g(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 $p-q\sqrt{3}$ 이다. $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $54$
최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)-x-f(t)+t$$ 라 할 때, 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $h(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to -1} \{ h(t)-h(-1)\} = \lim \limits_{t \to 1} \{h(t)-h(1)\}=2$ (나) $\displaystyle \int_0^\alpha f(x) dx =\int_0^\alpha |f(x)| dx $ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최솟값은 $-1$ 이다. (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\dfrac{d}{dx} \displ..
양수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=kx(x-2)(x-3)$$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축이 원점 $\mathrm{O}$ 와 두 점 $\mathrm{P, \; Q \; \left ( \overline{OP} \lt \overline{OQ} \right )}$ 에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$ 와 선분 $\mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 영역을 $A$, 곡선 $y=f(x)$ 와 선분 $\mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 영역을 $B$ 라 하자. ($A$ 의 넓이) $-$ ($B$ 의 넓이) $=3$ 일 때, $k$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11..
함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=3x^2-4x+1$ 이고 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \displaystyle \int_0^x f(t) dt = 1$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 삼차함수 $f(x)=x^3-6x^2+8x+1$ 의 그래프와 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$, 점 $\mathrm{B}(k, \; f(k))$ 에서 만나고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 점 $\mathrm{A}$ 를 지난다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 곡선 $y=g(x)$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$ 라 하자. $S_1=S_2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^k g(x)dx$ 의 값은? (단, $k$ 는 양수이다.) ① $-\dfrac{17}{2}$ ② $..
다항함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_1^x f(t) dt = x^3 -ax+1$$ 을 만족시킬 때, $f(2)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ②
함수 $y= \left |x^2-2x \right | +1$ 의 그래프와 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① $\dfrac{8}{3}$ ② $3$ ③ $\dfrac{10}{3}$ ④ $\dfrac{11}{3}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③
세 양수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} ax & (x \lt k) \\ -x^2+4bx-3b^2 & (x \ge k) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=1$ 이면 $f'(k)=1$ 이다. ㄴ. $k=3$ 이면 $a=-6+4\sqrt{3}$ 이다. ㄷ. $f(k)=f'(k)$ 이면 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\dfrac{1}{3}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤