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목록수학1- 문제풀이 (574)
수악중독
모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n + 2n & (a_n \text{이 4의 배수인 경우}) \\[5pt] a_n+2n & (a_n \text{이 4의 배수가 아닌 경우})\end{cases}$$ 이다. (나) $a_3 > a_5$ $50 < a_4 + a_5 < 60$ 이 되도록 하는 $a_1$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? ① $224$ ② $228$ ③ $232$ ④ $236$ ⑤ $240$ 더보기 정답 ②
방정식 $$\log_2 (x-2)=1+\log_4(x+6)$$ 을 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$ $\log_4 (x-2)^2 = log_4 4(x+6)$ $x^2-4x+4=4x+24$ $x^2-8x-20=0$ $(x-10)(x+2)=0$ $\therefore x=10$ ($\because$ 진수조건 $x>2$)
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{10}(a_k - b_k +2)=50, \; \sum \limits_{k=1}^{10}(a_k -2b_k)=-10$$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{10}(a_k + b_k)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $110$
그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 $\mathrm{ADE}$ 가 모두 내접한다. 두 선분 $\mathrm{AD}$ 와 $\mathrm{BC}$ 가 점 $\mathrm{F}$ 에서 만나고 $$\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DE}}=4, \quad \overline{\mathrm{BF}}=\overline{\mathrm{CE}}, \quad \sin ( \angle \mathrm{CAE} ) = \dfrac{1}{4}$$ 이다. $\overline{\mathrm{AF}}=k$ 일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $6$
네 수 $a, \; , 4, \; b, \; 10$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a+2b$ 의 값은? ① $11$ ② $13$ ③ $15$ ④ $17$ ⑤ $19$ 더보기 정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^5 (2a_k-1)^2 = 61, \quad \sum \limits_{k=1}^5 a_k (a_k-4)=11$$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^5 a_k^2$ 의 값은? ① $12$ ② $13$ ③ $14$ ④ $15$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ④
$0 \le x \le 2\pi$ 일 때, 방정식 $2\sin^2 x + 3 \sin x -2=0$ 의 모든 해의 합은? ① $\dfrac{\pi}{2}$ ② $\dfrac{3}{4}\pi$ ③ $\pi$ ④ $\dfrac{5}{4}\pi$ ⑤ $\dfrac{3}{2}\pi$ 더보기 정답 ③
두 양수 $m, \; n$ 에 대하여 $$\log_2 \left ( m^2 +\dfrac{1}{4} \right ) = -1, \quad \log_2m=5+3\log_2 n$$ 일 때, $m+n$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{8}$ ② $\dfrac{11}{16}$ ③ $\dfrac{3}{4}$ ④ $\dfrac{13}{16}$ ⑤ $\dfrac{7}{8}$ 더보기 정답 ③