수악중독

공차가 정수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 >0$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(2a_n +1)(2b_n+1) = 4n^2 - 4n -3 $ 이다. $\sum \limits_{k=1}^{10} (3a_k + b_k)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $200$

수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases} 2a_n +a_{n+1} & (a_n \le a_{n+1}) \\ a_n + a_{n+1} & (a_n > a_{n+1}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_3 =2, \; a_6=19$ 가 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②

모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $ {\rm P}_n$ 과 곡선 $y=\sqrt{3x}$ 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 있다. (가) 선분 ${\rm OP}_n$ 과 선분 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 이 서로 수직이다. (나) 선분 ${\rm OQ}_n$ 과 선분 ${\rm Q}_n {\rm P}_{n+1}$ 이 서로 수직이다. 다음은 점 $\rm P_1$ 의 좌표가 $(1, \; 0)$ 일 때, 삼각형 ${\rm OP}_{n+1} {\rm Q}_n$ 의 넓이 $A_n$ 을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$ 의 좌표를 $(a_n, \; 0)$ 이라 하자. $\overline..

수열 $\{a_n\}$ 의 일반항은 $$a_n=\log_2 \sqrt{\dfrac{2(n+1)}{n+2}}$$ 이다. $\sum \limits_{k=1}^m a_k$ 의 값이 $100$ 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합은? ① $150$ ② $154$ ③ $158$ ④ $162$ ⑤ $166$ 정답 ④

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = b_n+2$ (나) $a_{2n+1} = b_n-1$ (다) $b_{2n} = 3a_n -2$ (라) $b_{2n+1} = -a_n +3$ $a_{48} = 9$ 이고 $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n - \sum \limits_{n-=1}^{31} b_n = 155$ 일 때, $b_{32}$ 의 값을 구하시오. 정답 $79$

자연수 $n$ 에 대하여 두 점 ${\rm A}(0, ~n+5)$, ${\rm B}(n+4, ~0)$ 과 원점 $\rm O$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm AOB$ 가 있다. 삼각형 $\rm AOB$ 의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 $1$ 이고 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $164$