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도형과 등비급수_난이도 중하 (2021년 7월 전국연합 고3 미적분 26번) 본문

미적분 - 문제풀이/수열의 극한

도형과 등비급수_난이도 중하 (2021년 7월 전국연합 고3 미적분 26번)

수악중독 2023. 1. 26. 22:55

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 44 인 정사각형 OA1B1C1\mathrm{OA_1B_1C_1} 의 대각선 OB1\mathrm{OB_1}3:13:1 로 내분하는 점을 D1\mathrm{D_1} 이라 하고, 네 선분 A1B1,  B1C1,  C1D1,  D1A1\mathrm{A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1} 으로 둘러싸인 

 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R_1 이라 하자.

그림 R1R_1 에서 중심이 O\mathrm{O} 이고 두 직선 A1D1,  C1D1\mathrm{A_1D_1, \; C_1D_1} 에 동시에 접하는 원과 선분 OB1\mathrm{OB_1} 이 만나는 점을 B2\mathrm{B_2} 라 하자.  선분 OB2\mathrm{OB_2} 를 대각선으로 하는 정사각형 OA2B2C2\mathrm{OA_2B_2C_2} 를 그리고 정사각형 OA2B2C2\mathrm{OA_2B_2C_2} 에 그림 R1R_1 을 얻는 것과 같은 방법으로 

 

 

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R_2 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 nn 번째 얻은 그림 RnR_n 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS_n 이라 할 때, limnSn\lim \limits_{n \to \infty} S_n 의 값은?

 

 

7011\dfrac{70}{11}          ② 7511\dfrac{75}{11}          ③ 8011\dfrac{80}{11}          ④ 809\dfrac{80}{9}          ⑤ 859\dfrac{85}{9}

 

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정답 ③

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