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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/미분 (157)
수악중독
두 함수 \(f(x)=xe^{-x+a}\) 와 \(g(x)=-x+b\) 에 대하여 함수 \(y=|f(x)-g(x)|\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 미분가능하도록 상수 \(a, \;b\) 의 값을 정하 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}=0\) 이다.) 정답 \(6\)
함수 \(f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x + \cos x -2}\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 최솟값은 \(-1-\sqrt{2}\) 이다. ㄴ. \(x=\dfrac{\pi}{4}\) 에서 최댓값을 갖는다. ㄷ. \(x=\dfrac{5}{4}\pi\) 에서 극댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) 의 도함수 \(f'(x)\) 는 \(x=a\) 일 때, 최댓값 \(M\) 을 갖는다. 이때, 상수 \(a\), \(M\) 의 합 \(a+M\) 에 대하여 \(8(a+M)\) 의 값을 구하여라. 정답 \(4\)
그림과 같이 점 \({\rm A}(a, \;0)\) 에서 곡선 \(y=1+\ln x\) 에 그은 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 접점을 \(\rm Q\) 라 하자. 점 \(\rm Q\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm R\), \(\triangle \rm PQR\) 의 넓이를 \(S(a)\) 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a
좌표평면 위를 움직이는 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치가 \[x=2 \sin t - 2 \cos, \;\;\; y=3 \sin t \cos t\]이다. 점 \(\rm P\) 의 속력의 최댓값을 \(\dfrac{q}{p}\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(14\)
그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm A(1,\;0), \; B(3, \;0),\;C(3, \;2),\;D(1,\;2)\) 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다. 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm EFGH\) 의 두 대각선의 교점이 원 \(x^2+y^2=1\) 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 \(x\) 축 또는 \(y\) 축에 수직이다.) ① \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\) ② \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\) ④ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\) 정답 ④
함수 \(f(x)=\dfrac{\ln x^2}{x}\) 의 극댓값을 \(\alpha\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)-\dfrac{\alpha}{n}x=0\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10}a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(34\)
\(x>0\) 일 때, 함수 \(f(x)=e^{-x}\cos x\) 가 극댓값을 갖는 \(x\) 의 값을 작은 것부터 차례대로 \(x_1 ,\; x_2,\; x_3,\; \cdots,\; x_n,\; \cdots\) 이라 하자. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} f(x_n)\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{4}}}{e^{2 \pi}-1}\) ② \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}}{e^{2 \pi}-1}\) ③ \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{3}{4}\pi}..
두 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1},\;\; g(x)=ax\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\) 는 실수이다.) ㄱ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만날 때의 \(a\) 값의 범위는 \(a3\sqrt{3}\) 이다. ㄴ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때의 \(a\)의 값은 \(-3\sqrt{3}\) 또는 \(3\sqrt{3}\) 이다. ㄷ. 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\) 의 그래프가 한 점에서 만날 때의 \(a\) 의 값의 범위는 \(-3\sqrt{3}