(이과) 정사영의 길이&점과 평면 사이의 거리_난이도 중상

좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 

정답 $15$