기하와 벡터_공간도형&벡터의 내적_난이도 상 (2017년 9월 평가원 가형 29번)

좌표공간에서 세 점 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0), \; {\rm A}(1, \; 0, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 0, \; 2)$ 가 있다. 점 $ \rm P$ 가 $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP}=0$ , $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 4$ 를 만족시키며 움직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = 1,\;\; \overrightarrow{\rm PQ}\cdot \overrightarrow{\rm OA} \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 을 만족시키는 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm BQ} \right |$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 하자. $M+m=a+b\sqrt{5}$ 일 때, $ 6(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $27$