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목록(고1) 수학 - 문제풀이 (617)
수악중독
세 실수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 삼차방정식 $$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x$ 에 대한 삼차방정식 $P(x)=0$ 은 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 곱은 $5$ 이다. (나) $x$ 에 대한 삼차방정식 $P(3x-1)=0$ 은 한 근 $0$ 과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 합은 $2$ 이다. $a+b+c$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 기울기가 $2$ 인 직선 $l$ 이 원 $x^2+y^2=10$ 과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서 만나고 $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{5}$ 이다. 직선 $\mathrm{OA}$ 와 원이 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}(a, \; b)$ 라 할 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $-8$ ② $-\dfrac{15}{2}$ ③ $-7$ ④ $-\dfrac{1..
좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{A}(0, \; 4), \; \mathrm{B})(4, \; 4), \; \mathrm{C}(4, \; 0)$ 이 있다. 세 선분 $\mathrm{OA, \; AB, \; BC}$ 를 $m:n \; (m>0, \; n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 라 하고, 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ㄱ. $m=n$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $(0, \; 2)$ 이다. ㄴ. 점 $\left ( \dfrac{4m}{m+n},\; 0 \right )$ 은 원 $C$ 위의 점..
이차함수 $f(x)$ 와 이차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $g(x)$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $$\{x-f(k)\}\{x-g(k)\}=0$$ 이 서로 다른 두 실근 $0, \; 4$ 를 갖도록 하는 모든 실수 $k$ 의 개수가 $3$ 이다. $f(2)=4$ 일 때, $g(8)-f(8)$ 의 값은? ① $62$ ② $64$ ③ $66$ ④ $68$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④
다항식 $x^3-3x^2+3x-6$ 을 $x-3$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 더보기 정답 $3$ $f(x)=x^3-3x^2+3x-6$ 라고 하면 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $f(3)$ 과 같다. $f(3)=3^3 - 3 \times 3^2 +3 \times 3-6 = 27-27+9-6=3$
부등식 $|x-5|
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2ax+a^2+4a-28=0$ 이 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 $a$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$ 주어진 이차방정식의 판별식을 $D$ 라고 하면 $\dfrac{D}{4}= a^2 -a^2 -4a+28 \ge 0$ $\therefore a \le 7$ 모든 자연수 $a$ 의 개수는 $1,\; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7$ 의 7개다.
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-px+p+19=0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖는다. 한 허근의 허수부분이 $2$ 일 때, 양의 실수 $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$ 실계수 이차방정식이므로 주어진 이차방정식의 한 허근을 $a+2i$ 라고 하면 나머지 한 근은 $a-2i$ 가 된다. 이차방정식 근과 계수와의 관계를 이용하면 $2a=p, \; a^2+4=p+19$ 이므로 $a^2-2a-15=0$ $(a-5)(a+3)=0$ $\therefore p=2a=2 \times 5 = 10 \; (\because p>0)$
좌표평면에서 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선이 원 $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 과 만나도록 하는 자연수 $r$ 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 $8$ 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선의 방정식은 $3x-4y=25$ $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 중심 $(6, \; 8)$ 과 직선 $3x-4y=25$ 사이의 거리가 반지름 $r$ 보다 작거나 같아야 하므로 $\dfrac{|18-32-25|}{5} \le r$ $\dfrac{39}{5} \le r$ 따라서 자연수 $r$ 의 최솟값은 $8$ 이다.