원의 접선의 방정식 & 원과 직선의 위치 관계_난이도 중 (2023년 9월 전국연합 고1 26번)

 

 

좌표평면에서 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선이 원 $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 과 만나도록 하는 자연수 $r$ 의 최솟값을 구하시오.

 

정답 $8$

원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선의 방정식은 $3x-4y=25$

$(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 중심 $(6, \; 8)$ 과 직선 $3x-4y=25$ 사이의 거리가 반지름 $r$ 보다 작거나 같아야 하므로 

$\dfrac{|18-32-25|}{5} \le r$

$\dfrac{39}{5} \le r$

따라서 자연수 $r$ 의 최솟값은 $8$ 이다.