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목록(고1) 수학 - 문제풀이 (617)
수악중독
그림과 같이 이차함수 $y=x^2 - (a+4)x +3a+3$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, $y$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이의 최댓값은? (단, $0
다음은 $2022^{10}$ 을 $505$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하는 과정이다. 다항식 $(4x+2)^{10}$ 을 $x$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$ 라고 하면 $(4x+2)^{10}=xQ(x)+R$ 이다. 이때, $R = \boxed{\; (가) \; }$ 이다. 등식 $(4x+2)^{10} = xQ(x)+\boxed{ \; (가) \; }$ 에 $x=505$ 를 대입하면 $$\begin{aligned} 2022^{10} &= 505 \times Q(505) + \boxed{ \; (가) \; } \\ &=505 \times \left \{ Q(505) + \boxed { \; (나) \; } \right \} + \boxed{ \; (다) \; } \end{align..
복소수 $z$ 에 대하여 $z+ \overline{z} = -1 ,\; z \overline{z}=1$ 일 때, $$\dfrac{\overline{z}}{z^5} + \dfrac{\left ( \overline{z} \right )^2}{z^4} +\dfrac{ \left ( \overline{z} \right )^3}{z^3}+ \dfrac{\left (\overline{z} \right )^4}{z^2} + \dfrac{\left (\overline{z}\right )^5}{z}$$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $2$ ② $3$ ③ $4$ ④ $5$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정오각형 $\rm ABCDE$ 가 있다. 두 대각선 $\rm AC$ 와 $\rm BE$ 가 만나는 점을 $\rm P$ 라 하면 $\overline{\rm BE}:\overline{\rm PE} = \overline{\rm PE}:\overline{\rm BP}$ 가 성립한다. 대각선 $\rm BE$ 의 길이를 $x$ 라 할 때, $$1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+x^8=p+q\sqrt{5}$$ 이다. $p+q$ 의 값은? (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) ① $22$ ② $23$ ③ $24$ ④ $25$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①
두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)g(x)= \left (x^2 - 4 \right ) \left ( x^2 - 9 \right )$ (나) $f(\alpha) = f(\alpha + 5) = 0$ 인 실수 $\alpha$ 가 존재한다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(2) = 0$ 일 때, $g(3)= 0$ 이다. ㄴ. $g(2)>0$ 일 때, $f \left ( \dfrac{5}{2} \right ) < g \left (\dfrac{5}{2} \right )$ 이다. ㄷ. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)-g(x)=0$ 이 서로 다른 두 정수 $m, \; n$ 을 근으로 가질 때, $|m+n|=5$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ..
이차함수 $f(x)=ax^2+bx+5$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-2)$ 의 값을 구하시오. (가) $a, \; b$ 는 음의 정수이다. (나) $1 \le x \le 2$ 일 때, 이차함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $3$ 이다. 더보기 정답 $3$
$\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{1+i} \right )^n + \left ( \dfrac{\sqrt{3}+i}{2} \right )^n = 2$ 를 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (단, $i = \sqrt{-1}$) 더보기 정답 $24$
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2ax-b=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $| \alpha - \beta | < 12$ 를 만족시키는 두 자연수 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $120$
두 이차함수 $f(x) = x^2 +2x+1$, $g(x) = -x^2 +5$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} f(x) & (x \le -2 \; 또는 \; x \ge 1) \\ g(x) & (-2
$5$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 다항식 $$P_n(x) = (1+x) \left (1+x^2 \right ) \left ( 1+x^3 \right ) \cdots \left (1+x^{n-1} \right ) \left ( 1+x^n \right ) -64$$ 가 $x^2 +x+1$ 로 나누어 떨어지도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $38$