수악중독

함수 $f(x)=e^{3x}-ax$ ($a$는 상수)와 상수 $k$ 에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge k) \\ -f(x) & (x ① $e$          ② $e^{\frac{3}{2}}$          ③ $e^2$          ④ $e^{\frac{5}{2}}$          ⑤ $e^3$ 더보기정답 ①

함수 $y=\dfrac{2\pi}{x}$ 의 그래프와 함수 $y=\cos x$ 의 그래프가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $m$ 번째 수를 $a_m$ 이라 하자. $\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ n \times \cos^2(a_{n+k}) \right \}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $2$          ③ $\dfrac{5}{2}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기정답 ②

점 $(0, \; 1)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 과 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 이 있다. 직선 $l$ 이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, 직선 $l$ 이 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점의 $x$ 좌표를 $f(\theta)$ 라 하자. $f \left (\dfrac{\pi}{4} \right )=a$ 일 때, $\sqrt{ f' \left ( \dfrac{\pi}{4} \right )}=pe+q$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p, \; q$ 는 정수이다.)  더보기정답 $5$

두 상수 $a \; (a>0), \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)=\left (ax^2+bx \right ) e^{-x}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $60 \times (a+b)$ 의 값을 구하시오. (가) $\{x \; | \; f(x)=f'(t) \times x\}=\{0\}$ 을 만족시키는 실수 $t$ 의 개수가 $1$ 이다.(나) $f(2)=2e^{-2}$ 더보기정답 $40$

좌표공간의 점 $\mathrm{A}(3, \; -1, \; a)$ 를 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}(-3, \; b, \; 4)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점이 $x$ 축 위에 있을 때, $a+b$ 의 값은? ① $4$          ② $5$          ③ $6$          ④ $7$          ⑤ $8$ 더보기정답 ①

두 벡터 $\overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{b}$ 에 대하여$$\left | 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{13}, \quad \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right | =1, \quad \left | \overrightarrow{a} \right | = \sqrt{2}$$ 일 때, $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |$ 의 값은? ① $\sqrt{3}$          ② $2$          ③ $\sqrt{5}$          ④ $\sqrt{6}$          ⑤ $\..

포물선 $y^2=12x$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{BF}}=3:1$ 일 때, 이 포물선 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? ① $\sqrt{15}$          ② $3\sqrt{2}$          ③ $\sqrt{21}$          ④ $2\sqrt{6}$          ⑤ $3\sqrt{3}$ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 에서 모서리 $\mathrm{DH}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$, 모서리 $\mathrm{GH}$ 의 중점을 $\mathrm{N}$ 이라 하자. 선분 $\mathrm{FM}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{NP}$ 의 길이가 최소일 때, 선분 $\mathrm{NP}$ 의 평면 $\mathrm{FHM}$ 위로의 정사영의 길이는?  ① $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$          ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$          ③ $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}$          ④ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ⑤ $\dfr..

좌표평면의 두 점 $\mathrm{A}(9, \; 0), \; \mathrm{B}(8, \; 1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $X$ 의 집합을 $S$ 라 하자. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AX}} \right | = 2$(나) $\left | \overrightarrow{\mathrm{OB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BX}} \right | = 4$ 를 만족시키는 실수 $k$ 가 존재한다. 집합 $S$ 에 속하는 점 중에서 $x$ 좌표가 최대인 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \; \overrightarrow{\mathrm{BP}}$ 가 이루는 각의 크기..

장축의 길이가 $8$ 이고 두 초점이 $\matrm{F}(2, \; 0), \; \mathrm{F'}(-2, \; 0)$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 장축의 길이가 $12$ 이고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}(a, \; 0) \;(a>2)$ 인 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$ 과 $C_2$ 가 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}}, \; \overline{\mathrm{FQ}}, \; \overline{\mathrm{PQ}}$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a=p+q\sqrt{10}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이다...