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목록2023/10 (44)
수악중독
그림과 같이 곡선 $y=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=1$, $x=4$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는? ① $6\ln 2$ ② $7\ln 2$ ③ $8 \ln 2$ ④ $9 \ln 2$ ⑤ $10 \ln 2$ 더보기 정답 ③
함수 $f(x)=e^{2x}+e^x-1$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 함수 $g(5f(x))$ 의 $x=0$ 에서의 미분계수는? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $\dfrac{3}{4}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{5}{4}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ⑤
모든 항이 자연수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{3^n}=4$$ 이고 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_{2n}}$ 이 실수 $S$ 에 수렴할 때, $S$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①
함수 $$f(x)=\sin x \cos x \times e^{a\sin x+b\cos x}$$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 서로 다른 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a-b$ 의 최솟값은? (가) $ab=0$ (나) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \dfrac{1}{a^2+b^2}-2e^{a+b}$ ① $-\dfrac{5}{2}$ ② $-2$ ③ $-\dfrac{3}{2}$ ④ $-1$ ⑤ $-\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{BC}}=2$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{E}$ 라 하자. $\angle \mathrm{BAC}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $60 \times \lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값을 ..
두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\left (x^2+ax+b \right ) e^{-x}$$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 극값을 갖는다. (나) 함수 $|f(x)|$ 가 $x=k$ 에서 극대 또는 극소인 모든 $k$ 의 값의 합은 $3$ 이다. $f(10)=pe^{-10}$ 일 때, $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $91$
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{27}=1$ 의 한 점근선의 방정식이 $y=3x$ 일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $\dfrac{2}{3}$ ② $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ③ $2$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ④
평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=6$ 이고 넓이가 $12$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발이 점 $\mathrm{C}$ 와 일치한다. $\overline{\mathrm{PC}}=2$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는? ① $3\sqrt{2}$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $\sqrt{22}$ ④ $2\sqrt{6}$ ⑤ $\sqrt{26}$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(2, \; 0)$ 이고 $x$ 축을 축으로 하는 포물선이 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나는 직선과 제$1$사분면 위의 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만난다. 점 $\mathrm{A}$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $$\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{AH}}, \quad \overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{BF}}=1:4$$ 일 때, 선분 $\mathrm{AF}$ 의 길이는? ① $\dfrac{13}{12}$ ② $\dfrac{7}{6}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{17}{1..
사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}, \; \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 는 서로 평행하다. (나) $t \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ 를 만족시키는 실수 $t$ 가 존재한다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 넓이가 $12$ 일 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 넓이는? ① $16$ ② $17$ ③ $18$ ④ $19$ ⑤ $20$ 더보기 정답 ⑤